Dê uma interpretação combinatória do coeficiente de
na expansão
. Utilize essa interpretação para encontrar esse número.
Passo 1
O enunciado pede o coeficiente de
em
Cada fator
é uma série geradora de expoentes não negativos, e ao elevar ao cubo estamos combinando três desses expoentes. Vamos interpretar isso combinatoriamente.
Passo 2
Quando expandimos
tomamos um termo
do primeiro fator,
do segundo e
do terceiro, gerando
. Assim, o coeficiente de
é exatamente o número de tríplicas de inteiros não negativos
com
Passo 3
Para contar as soluções não negativas de
usamos o método de “estrelas e barras”, que diz que o número de soluções em
variáveis não negativas somando
é
Aqui
e
, logo
Resposta
O coeficiente de
em
é
.