Dê uma interpretação combinatória do coeficiente de x^{4} na expansão \left(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\right)^{3}. Utilize essa interpretação para encontrar esse número.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{4} em
\bigl(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\bigr)^{3}.
Cada fator \,1+x+x^{2}+\cdots é uma série geradora de expoentes não negativos, e ao elevar ao cubo estamos combinando três desses expoentes. Vamos interpretar isso combinatoriamente.

Passo 2

Quando expandimos
\bigl(1+x+x^{2}+\cdots\bigr)^{3}
tomamos um termo x^{a} do primeiro fator, x^{b} do segundo e x^{c} do terceiro, gerando x^{a+b+c}. Assim, o coeficiente de x^{4} é exatamente o número de tríplicas de inteiros não negativos (a,b,c) com
a+b+c=4.

Passo 3

Para contar as soluções não negativas de
a+b+c=4
usamos o método de “estrelas e barras”, que diz que o número de soluções em k variáveis não negativas somando n é
\binom{n+k-1}{k-1}.
Aqui n=4 e k=3, logo
\binom{4+3-1}{3-1}=\binom{6}{2}=15.

Resposta

O coeficiente de x^{4} em \bigl(1+x+x^{2}+\cdots\bigr)^{3} é 15.

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