Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
Passo 1
O enunciado pede a fórmula fechada da sequência
cuja função geradora é
O conteúdo aqui é usar a relação entre geradora e recorrência de ordem 2.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados de
Expandindo a esquerda e igualando coeficientes de
, vem
com condições iniciais
e
.
Passo 3
Para
a recorrência homogênea é
A equação característica é
com raízes
Passo 4
A solução geral é
Como
e
, temos
Daí
e
Passo 5
Substituindo em
e usando
, obtemos
Equivalentemente, como
vale
, a sequência é periódica de período 3: