Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
x /\left(1+x+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a fórmula fechada da sequência (a_n)_{n\ge0} cuja função geradora é
F(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\frac{x}{1+x+x^2}.
O conteúdo aqui é usar a relação entre geradora e recorrência de ordem 2.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados de F(x)=x/(1+x+x^2)\) por \(1+x+x^2\), obtendo \[(1+x+x^2)\sum_{n=0}^\infty a_nx^n = x.
Expandindo a esquerda e igualando coeficientes de x^n, vem
a_n + a_{n-1} + a_{n-2} = \begin{cases} 1,&n=1,\\\\ 0,&n\neq1, \end{cases}
com condições iniciais a_{-1}=a_{-2}=0\]. Logo \(a_0=0 e a_1=1.

Passo 3

Para n\ge2 a recorrência homogênea é
a_n + a_{n-1} + a_{n-2}=0.
A equação característica é
r^2 + r + 1=0,
com raízes
r_{1,2} = \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm 2\pi i/3}.

Passo 4

A solução geral é
a_n = A\,r_1^n + B\,r_2^n.
Como a_0=0 e a_1=1, temos
A+B=0, \qquad A\,r_1+B\,r_2=1.
Daí B=-A e
A(r_1 - r_2)=1 \;\Rightarrow\; A=\frac1{r_1-r_2}=\frac1{i\sqrt3}, \; B=-\frac1{i\sqrt3}.

Passo 5

Substituindo em a_n e usando r_2=e^{-2\pi i/3}, obtemos
a_n =\frac{e^{2\pi i n/3}-e^{-2\pi i n/3}}{i\sqrt3} =\frac{2\sin\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}\bigr)}{\sqrt3}.
Equivalentemente, como \sin(2\pi n/3) vale \{0,\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac{\sqrt3}{2}\}, a sequência é periódica de período 3:
a_n= \begin{cases} 0,&n\equiv0\pmod3,\\\\ 1,&n\equiv1\pmod3,\\\\ -1,&n\equiv2\pmod3. \end{cases}

Resposta

\boxed{ a_n \;=\; \frac{2}{\sqrt3}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi n}{3}\Bigr) \quad\text{ou}\quad a_n= \begin{cases} 0,&n\equiv0\pmod3,\\\\ 1,&n\equiv1\pmod3,\\\\ -1,&n\equiv2\pmod3. \end{cases} }

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