O que é uma função logarítmica? Que propriedades ela satisfaz? O que é uma função logarítmica natural? Qual é o domínio e a imagem de y=\ln x ? Com que seu gráfico se parece?

Passo 1

O enunciado quer que a gente entenda o que é uma função logarítmica, liste suas propriedades básicas, identifique o caso especial da base e (logaritmo natural), e especifique domínio, imagem e forma do gráfico de
y = \ln x.

Passo 2

Uma função logarítmica de base a (com a>0 e a\neq1) é definida como a inversa da função exponencial x \mapsto a^x. Em outras palavras, para x>0,
y = \log_a x \quad\Longleftrightarrow\quad a^y = x.
Isso significa que \log_a “desfaz” o a^{(\cdot)}.

Passo 3

As propriedades fundamentais de \log_a x são as leis de logaritmos, válidas para todo x>0 e y>0:
\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y,
\log_a\!\bigl(x/y\bigr) = \log_a x - \log_a y,
\log_a\bigl(x^r\bigr) = r\,\log_a x \quad\text{(para real \(r\))},
além de
\log_a 1 = 0 e \log_a a = 1.
Também é contínua e estritamente crescente se a>1, ou estritamente decrescente se 0<a<1.

Passo 4

A função logarítmica natural é o caso em que a base é
e \approx 2{,}71828\ldots,
denotada por
\ln x \equiv \log_e x.
Esse logaritmo aparece em muitos contextos de crescimento contínuo, cálculo diferencial e integrais.

Passo 5

Para y = \ln x vale:
Domínio:
x>0\quad\Longrightarrow\quad (0,\infty).
Imagem:
y\in\mathbb{R}\quad\Longrightarrow\quad (-\infty,\infty).

Passo 6

O gráfico de y=\ln x tem as seguintes características:
– Assimptota vertical em x=0.
– Passa pelo ponto \bigl(1,0\bigr).
– É estritamente crescente e côncava para baixo.
– Quando x\to0^+, y\to -\infty; quando x\to+\infty, y\to+\infty.

Resposta

Uma função logarítmica de base a>0, a\neq1, é a inversa de a^x, satisfaz as leis
\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,
\log_a(x/y)=\log_a x-\log_a y e
\log_a(x^r)=r\log_a x.
O logaritmo natural é o caso a=e, escrito \ln x.
Para y=\ln x, o domínio é (0,\infty), a imagem é (-\infty,\infty), e o gráfico é uma curva crescente, côncava para baixo, com assimptota vertical em x=0 e que passa por (1,0).

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