O que é uma função logarítmica? Que propriedades ela satisfaz? O que é uma função logarítmica natural? Qual é o domínio e a imagem de
? Com que seu gráfico se parece?
Passo 1
O enunciado quer que a gente entenda o que é uma função logarítmica, liste suas propriedades básicas, identifique o caso especial da base
(logaritmo natural), e especifique domínio, imagem e forma do gráfico de
Passo 2
Uma função logarítmica de base
(com
e
) é definida como a inversa da função exponencial
. Em outras palavras, para
,
Isso significa que
“desfaz” o
.
Passo 3
As propriedades fundamentais de
são as leis de logaritmos, válidas para todo
e
:
além de
e
.
Também é contínua e estritamente crescente se , ou estritamente decrescente se
.
Também é contínua e estritamente crescente se
Passo 4
A função logarítmica natural é o caso em que a base é
denotada por
Esse logaritmo aparece em muitos contextos de crescimento contínuo, cálculo diferencial e integrais.
Passo 5
Para
vale:
– Domínio:
– Domínio:
– Imagem:
Passo 6
O gráfico de
tem as seguintes características:
– Assimptota vertical em .
– Passa pelo ponto .
– É estritamente crescente e côncava para baixo.
– Quando ,
; quando
,
.
– Assimptota vertical em
– Passa pelo ponto
– É estritamente crescente e côncava para baixo.
– Quando
Resposta
Uma função logarítmica de base
,
, é a inversa de
, satisfaz as leis
,
e
.
O logaritmo natural é o caso , escrito
.
Para , o domínio é
, a imagem é
, e o gráfico é uma curva crescente, côncava para baixo, com assimptota vertical em
e que passa por
.
O logaritmo natural é o caso
Para