Como estão relacionados os domínios, imagens e os gráficos de funções e suas inversas? Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos como os domínios, as imagens e os gráficos de uma função f e de sua inversa f^{-1} se relacionam. Para isso, vamos usar a definição de função inversa (quando f é bijetora) e a propriedade de que o gráfico de f^{-1} é o reflexo do gráfico de f na reta y = x.

Passo 2

Se f\colon A \to B é bijetora, então existe f^{-1}\colon B \to A. As relações entre domínios e imagens são
\mathrm{Dom}(f^{-1}) = \mathrm{Im}(f), \qquad \mathrm{Im}(f^{-1}) = \mathrm{Dom}(f).
O gráfico de f é
\Gamma_f = \{(x,y)\in A\times B \mid y = f(x)\},
e o gráfico de f^{-1} satisfaz
\Gamma_{f^{-1}} = \{(y,x)\in B\times A \mid (x,y)\in \Gamma_f\},
isto é, é a reflexão de \Gamma_f na reta y = x.

Passo 3

Exemplo 1: seja f(x)=2x+3.
1. Domínio e imagem:
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R},
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.
2. Inversa:
y = 2x+3 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{y-3}{2},
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f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2},
com \mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R} e \mathrm{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}.
3. Gráficos: ambos são retas, e o gráfico de f^{-1} é a reflexão da reta de f em relação a y=x.

Passo 4

Exemplo 2: seja f(x)=x^2 restrita a A=[0,\infty).
1. Domínio e imagem:
\mathrm{Dom}(f)=[0,\infty),
\mathrm{Im}(f)=[0,\infty).
2. Inversa:
y = x^2 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt{y},
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f^{-1}(x)=\sqrt{x},
com \mathrm{Dom}(f^{-1})=[0,\infty) e \mathrm{Im}(f^{-1})=[0,\infty).
3. Gráficos: o gráfico de f é a parábola “abrindo para cima” em x\ge0, e o de f^{-1} é a mesma curva refletida na reta y=x.

Resposta

Domínio e imagem se trocam entre f e f^{-1}, isto é,
\mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Im}(f), \quad \mathrm{Im}(f^{-1})=\mathrm{Dom}(f),
e o gráfico de f^{-1} é o reflexo do gráfico de f na reta y=x. Exemplos:
(a) f(x)=2x+3 e f^{-1}(x)=(x-3)/2.
(b) f(x)=x^2 em [0,\infty) e f^{-1}(x)=\sqrt{x}.

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