Como estão relacionados os domínios, imagens e os gráficos de funções e suas inversas? Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pede para explicarmos como os domínios, as imagens e os gráficos de uma função
e de sua inversa
se relacionam. Para isso, vamos usar a definição de função inversa (quando
é bijetora) e a propriedade de que o gráfico de
é o reflexo do gráfico de
na reta
.
Passo 2
Se
é bijetora, então existe
. As relações entre domínios e imagens são
O gráfico de
é
e o gráfico de
satisfaz
isto é, é a reflexão de
na reta
.
Passo 3
Exemplo 1: seja
.
1. Domínio e imagem:
,
.
2. Inversa:
1. Domínio e imagem:
2. Inversa:
logo
com
e
.
3. Gráficos: ambos são retas, e o gráfico de é a reflexão da reta de
em relação a
.
3. Gráficos: ambos são retas, e o gráfico de
Passo 4
Exemplo 2: seja
restrita a
.
1. Domínio e imagem:
,
.
2. Inversa:
1. Domínio e imagem:
2. Inversa:
logo
com
e
.
3. Gráficos: o gráfico de é a parábola “abrindo para cima” em
, e o de
é a mesma curva refletida na reta
.
3. Gráficos: o gráfico de
Resposta
Domínio e imagem se trocam entre
e
, isto é,
e o gráfico de
é o reflexo do gráfico de
na reta
. Exemplos:
(a) e
.
(b) em
e
.
(a)
(b)