11.7.25 A função de onda de uma partícula dentro de uma esfera (Exemplo 11.7.1) com momento angular
é
. O
é um harmônico esférico, descrito na Seção 12.6. Pela condição de contorno
ou
, calcule os 10 estados de energia mais baixos. Despreze a degenerescência
valores de
para cada escolha de l). Verifique seus resultados comparando-os com AMS-55, Tabela 10.6, referência fornecida em Leituras Adicionais do Capítulo 8.
Sugestão: Você pode usar sua sub-rotina de esférica de Bessel e uma sub-rotina de busca de raízes.
Sugestão: Você pode usar sua sub-rotina de esférica de Bessel e uma sub-rotina de busca de raízes.
Passo 1
O problema descreve uma partícula presa num poço esférico infinito de raio
. A função de onda no interior é
onde
é a função de Bessel esférica,
o harmônico esférico, e
A condição de contorno rígida em
exige
O exercício pede os
menores valores de energia obedecendo essa condição (desprezando a degenerescência em
).
Passo 2
A condição de zero de
define raízes
tais que
e necessariamente
Convém definir a energia normalizada
para trabalhar apenas com os quadrados das raízes.
Passo 3
Usando uma sub-rotina de
e busca de raízes, obtêm-se as primeiras raízes
para
e
. Dos valores iniciais (Tabela AMS-
, Tabela
) temos por exemplo:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, \dots
Passo 4
Reunindo todas as raízes calculadas até cobrir pelo menos
valores e ordenando em ordem crescente de
, identificamos os
menores pares
.
Passo 5
Para cada um desses
pares, computamos
o que dá diretamente os
menores valores de energia (normalizada).
Resposta
Os
menores estados, listados como
, sua raiz
e energia normalizada
, são:
Em cada caso a energia em unidades de
é
, e esses valores conferem com a Tabela
do AMS-
.