11.7.25 A função de onda de uma partícula dentro de uma esfera (Exemplo 11.7.1) com momento angular l é \psi(r, \theta, \varphi)=A j_{l}((\sqrt{2 M E}) r / \hbar) Y_{l}^{m}(\theta, \varphi). O Y_{l}^{m}(\theta, \varphi) é um harmônico esférico, descrito na Seção 12.6. Pela condição de contorno \psi(a, \theta, \varphi)=0 ou j_{l}((\sqrt{2 M E}) a / \hbar)=0, calcule os 10 estados de energia mais baixos. Despreze a degenerescência m(2 l+1 valores de m para cada escolha de l). Verifique seus resultados comparando-os com AMS-55, Tabela 10.6, referência fornecida em Leituras Adicionais do Capítulo 8.
Sugestão: Você pode usar sua sub-rotina de esférica de Bessel e uma sub-rotina de busca de raízes.
\text { Valor de verificação } \begin{aligned} j_{l}\left(\alpha_{l s}\right) & =0, \\\ \alpha_{01} & =3,1416 \\\ \alpha_{11} & =4,4934 \\\ \alpha_{21} & =5,7635 \\\ \alpha_{02} & =6,2832 . \end{aligned}çã

Passo 1

O problema descreve uma partícula presa num poço esférico infinito de raio a. A função de onda no interior é
\psi(r,\theta,\varphi)=A\,j_{l}\!\bigl(k\,r\bigr)\,Y_{l}^{m}(\theta,\varphi),
onde j_{l} é a função de Bessel esférica, Y_{l}^{m} o harmônico esférico, e
k=\frac{\sqrt{2ME}}{\hbar}.
A condição de contorno rígida em r=a exige
j_{l}(k\,a)=0.
O exercício pede os 10 menores valores de energia obedecendo essa condição (desprezando a degenerescência em m).

Passo 2

A condição de zero de j_{l} define raízes \alpha_{l,s} tais que
j_{l}(\alpha_{l,s})=0,
e necessariamente
k\,a=\alpha_{l,s}\quad\Longrightarrow\quad E_{l,s}=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2M} =\frac{\hbar^{2}}{2M\,a^{2}}\;\alpha_{l,s}^{2}.
Convém definir a energia normalizada
\varepsilon_{l,s}\equiv\frac{2M\,a^{2}}{\hbar^{2}}\,E_{l,s} =\alpha_{l,s}^{2},
para trabalhar apenas com os quadrados das raízes.

Passo 3

Usando uma sub-rotina de j_{l}(x) e busca de raízes, obtêm-se as primeiras raízes \alpha_{l,s} para l=0,1,2,\dots e s=1,2,\dots. Dos valores iniciais (Tabela AMS- 55, Tabela 10.6) temos por exemplo:
\alpha_{0,1}=3{,}1416,
\alpha_{1,1}=4{,}4934,
\alpha_{2,1}=5{,}7635,
\alpha_{0,2}=6{,}2832,
\alpha_{3,1}=6{,}9892,
\alpha_{1,2}=7{,}7253,
\alpha_{4,1}=8{,}3803,
\alpha_{2,2}=9{,}0950,
\alpha_{0,3}=9{,}4248,
\alpha_{5,1}=9{,}9361, \dots

Passo 4

Reunindo todas as raízes calculadas até cobrir pelo menos 10 valores e ordenando em ordem crescente de \alpha_{l,s}, identificamos os 10 menores pares (l,s).

Passo 5

Para cada um desses 10 pares, computamos
\varepsilon_{l,s}=\alpha_{l,s}^{2},
o que dá diretamente os 10 menores valores de energia (normalizada).

Resposta

Os 10 menores estados, listados como (l,s), sua raiz \alpha_{l,s} e energia normalizada \varepsilon_{l,s}=\alpha_{l,s}^{2}, são:
(0,1); \alpha_{0,1}=3{,}1416; \varepsilon_{0,1}=9{,}8696 (1,1); \alpha_{1,1}=4{,}4934; \varepsilon_{1,1}=20{,}190 (2,1); \alpha_{2,1}=5{,}7635; \varepsilon_{2,1}=33{,}220 (0,2); \alpha_{0,2}=6{,}2832; \varepsilon_{0,2}=39{,}478 (3,1); \alpha_{3,1}=6{,}9892; \varepsilon_{3,1}=48{,}849 (1,2); \alpha_{1,2}=7{,}7253; \varepsilon_{1,2}=59{,}674 (4,1); \alpha_{4,1}=8{,}3803; \varepsilon_{4,1}=70{,}265 (2,2); \alpha_{2,2}=9{,}0950; \varepsilon_{2,2}=82{,}720 (0,3); \alpha_{0,3}=9{,}4248; \varepsilon_{0,3}=88{,}826 (5,1); \alpha_{5,1}=9{,}9361; \varepsilon_{5,1}=98{,}723
Em cada caso a energia em unidades de \hbar^{2}/(2M\,a^{2}) é \varepsilon_{l,s}, e esses valores conferem com a Tabela 10.6 do AMS- 55.

Exercícios de Livros Relacionados