11.7.16 Mostre que k_{n}(x) não tem nenhuma paridade definida.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
k_{n}(x)=\sum_{m=0}^{n}e^{i m x}
não é nem par nem ímpar. O conteúdo aqui é estudar a paridade de uma combinação de funções complexas, usando a definição: uma função f é par se f(-x)=f(x) para todo x, e ímpar se f(-x)=-f(x).

Passo 2

Vamos escrever k_{n}(x) em forma mais explícita. Usando a fórmula da soma de progressão geométrica obtemos
k_{n}(x) =\sum_{m=0}^{n}e^{i m x} =e^{i n x/2}\,\frac{\sin\bigl((n+1)\tfrac{x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 3

Calculemos k_{n}(-x). Basta trocar x por -x em cada termo da soma ou na expressão fechada:
k_{n}(-x) =\sum_{m=0}^{n}e^{-i m x} =e^{-i n x/2}\,\frac{\sin\bigl((n+1)\tfrac{x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 4

Mostramos que k_{n}(-x)\neq k_{n}(x) em geral. De fato, se fossem iguais teríamos
e^{-i n x/2}\,\frac{\sin\bigl((n+1)\tfrac{x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} \;=\; e^{i n x/2}\,\frac{\sin\bigl((n+1)\tfrac{x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)},
ou seja e^{-i n x/2}=e^{i n x/2}, o que implicaria e^{i n x}=1 para todo x. Como isso não ocorre (por exemplo para x=\pi/3 e n genérico), concluímos que k_{n}(-x)\neq k_{n}(x).

Passo 5

Mostramos também que k_{n}(-x)\neq -\,k_{n}(x). Se fosse -k_{n}(x), teríamos
e^{-i n x/2}\,\frac{\sin\bigl((n+1)\tfrac{x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} \;=\; -\,e^{i n x/2}\,\frac{\sin\bigl((n+1)\tfrac{x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)},
ou e^{-i n x/2}=-\,e^{i n x/2}, o que dá e^{i n x}=-1 para todo x. Também isto é impossível de acontecer para valores genéricos de x. Logo k_{n}(-x)\neq -\,k_{n}(x).

Passo 6

Como não vale nem k_{n}(-x)=k_{n}(x) nem k_{n}(-x)=-k_{n}(x), concluímos que k_{n} não é nem par nem ímpar.

Resposta

k_{n}(x) não tem paridade definida.

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