11.7.16 Mostre que
não tem nenhuma paridade definida.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
não é nem par nem ímpar. O conteúdo aqui é estudar a paridade de uma combinação de funções complexas, usando a definição: uma função
é par se
para todo
, e ímpar se
.
Passo 2
Vamos escrever
em forma mais explícita. Usando a fórmula da soma de progressão geométrica obtemos
Passo 3
Calculemos
. Basta trocar
por
em cada termo da soma ou na expressão fechada:
Passo 4
Mostramos que
em geral. De fato, se fossem iguais teríamos
ou seja
, o que implicaria
para todo
. Como isso não ocorre (por exemplo para
e
genérico), concluímos que
.
Passo 5
Mostramos também que
. Se fosse
, teríamos
ou
, o que dá
para todo
. Também isto é impossível de acontecer para valores genéricos de
. Logo
.
Passo 6
Como não vale nem
nem
, concluímos que
não é nem par nem ímpar.