11.7.4 (a) Derive as relações de recorrência
fn-1(x)+fn+1(x) & =2 n+1x fn(x), n fn-1(x)-(n+1) fn+1(x) & =(2 n+1) fn^prime(x)
satisfeitas pelas funções esféricas de Bessel jn(x), nn(x), hn^(1)(x) e hn^(2)(x).
(b) Por essas duas relações de recorrência, mostre que a função esférica de Bessel fn(x) satisfaz a equação diferencial
x^2 fn^prime prime(x)+2 x fn^prime(x)+[x^2-n(n+1)] fn(x)=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1. Mostrar que as funções esféricas de Bessel
,jn(x),,nn(x),,hn^(1)(x),,hn^(2)(x)
satisfazem as recorrências
fn-1(x)+fn+1(x)=2n+1xfn(x), n,fn-1(x)-(n+1),fn+1(x)=(2n+1),fn'(x)
2. Usar essas duas relações para mostrar que fn(x) satisfaz
x^2fn''(x)+2x,fn'(x)+l[x^2-n(n+1)r]fn(x)=0
Vamos usar a definição unificada
fn(x)=raizpi2x;Zn+tfrac12(x),
onde Znu pode ser Jnu,Ynu,Hnu^(1),Hnu^(2), e as recorrências clássicas de Bessel cilíndrica.

Passo 2

As funções de Bessel cilíndricas satisfazem para qualquer nu:
Znu-1(x)+Znu+1(x)=2nux,Znu(x), Znu-1(x)-Znu+1(x)=2,Znu'(x)
Tomamos nu=n+tfrac12 e passamos ao caso esférico via
fnpm1(x)=raizpi2x,Znpm12(x).

Passo 3

Aplicando
Znu-1+Znu+1=2nuxZnu (nu=n+tfrac12)
obtemos diretamente
fn-1+fn+1 =raiztfracpi2xl(Zn-12+Zn+32r) =2n+1x,fn
Para a segunda recorrência, usamos também
Znu-1-Znu+1=2Znu', fn'=-12xfn+raiztfracpi2x,Zn+12'
Dessa forma encontra-se
n,fn-1-(n+1),fn+1 =(2n+1),fn'

Passo 4

Agora resolvemos o sistema linear
fn-1+fn+1=dfrac2n+1xfn,[6pt] n,fn-1-(n+1),fn+1=(2n+1),fn'
para fn-1 e fn+1. A inversão dá
fn-1=fn'+n+1xfn, fn+1=-fn'+nxfn
]

Passo 5

Para chegar à equação diferencial diferenciamos
fn-1=fn'+n+1xfn
e usamos também, com índice k=n-1, a forma
fn=-fn-1'+n-1xfn-1
(vinda da mesma recorrência fk+1=-fk'+tfrackxfk).
Substituindo e reorganizando termos em
;fn'',fn',fn; resulta
x^2fn''+2x,fn'+l[x^2-n(n+1)r]fn=0

Resposta

(a)
fn-1(x)+fn+1(x)=2n+1xfn(x), n,fn-1(x)-(n+1),fn+1(x)=(2n+1),fn'(x)
(b)
x^2fn''(x)+2x,fn'(x)+l[x^2-n(n+1)r]fn(x)=0

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