11.7.4 (a) Derive as relações de recorrência
\begin{aligned} f_{n-1}(x)+f_{n+1}(x) & =\frac{2 n+1}{x} f_{n}(x), \\\ n f_{n-1}(x)-(n+1) f_{n+1}(x) & =(2 n+1) f_{n}^{\prime}(x) \end{aligned}
satisfeitas pelas funções esféricas de Bessel j_{n}(x), n_{n}(x), h_{n}^{(1)}(x) e h_{n}^{(2)}(x).
(b) Por essas duas relações de recorrência, mostre que a função esférica de Bessel f_{n}(x) satisfaz a equação diferencial
x^{2} f_{n}^{\prime \prime}(x)+2 x f_{n}^{\prime}(x)+\left[x^{2}-n(n+1)\right] f_{n}(x)=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1. Mostrar que as funções esféricas de Bessel
\,j_n(x),\,n_n(x),\,h_n^{(1)}(x),\,h_n^{(2)}(x)
satisfazem as recorrências
f_{n-1}(x)+f_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{x}f_n(x), \quad n\,f_{n-1}(x)-(n+1)\,f_{n+1}(x)=(2n+1)\,f_n'(x).
2. Usar essas duas relações para mostrar que f_n(x) satisfaz
x^2f_n''(x)+2x\,f_n'(x)+\bigl[x^2-n(n+1)\bigr]f_n(x)=0.
Vamos usar a definição unificada
f_n(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;Z_{n+\tfrac12}(x),
onde Z_\nu pode ser J_\nu,Y_\nu,H_\nu^{(1)},H_\nu^{(2)}, e as recorrências clássicas de Bessel cilíndrica.

Passo 2

As funções de Bessel cilíndricas satisfazem para qualquer \nu:
Z_{\nu-1}(x)+Z_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}\,Z_\nu(x), \quad Z_{\nu-1}(x)-Z_{\nu+1}(x)=2\,Z_\nu'(x).
Tomamos \nu=n+\tfrac12 e passamos ao caso esférico via
\displaystyle f_{n\pm1}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,Z_{n\pm\frac12}(x).

Passo 3

Aplicando
Z_{\nu-1}+Z_{\nu+1}=\frac{2\nu}{x}Z_\nu \quad(\nu=n+\tfrac12)
obtemos diretamente
f_{n-1}+f_{n+1} =\sqrt{\tfrac{\pi}{2x}}\bigl(Z_{n-\frac12}+Z_{n+\frac32}\bigr) =\frac{2n+1}{x}\,f_n.
Para a segunda recorrência, usamos também
Z_{\nu-1}-Z_{\nu+1}=2Z_\nu', \quad f_n'=-\frac1{2x}f_n+\sqrt{\tfrac{\pi}{2x}}\,Z_{n+\frac12}'.
Dessa forma encontra-se
n\,f_{n-1}-(n+1)\,f_{n+1} =(2n+1)\,f_n'.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema linear
\begin{cases} f_{n-1}+f_{n+1}=\dfrac{2n+1}{x}f_n,\\[6pt] n\,f_{n-1}-(n+1)\,f_{n+1}=(2n+1)\,f_n' \end{cases}
para f_{n-1} e f_{n+1}. A inversão dá
f_{n-1}=f_n'+\frac{n+1}{x}f_n, \qquad f_{n+1}=-f_n'+\frac{n}{x}f_n.
]

Passo 5

Para chegar à equação diferencial diferenciamos
f_{n-1}=f_n'+\frac{n+1}{x}f_n
e usamos também, com índice k=n-1, a forma
f_n=-f_{n-1}'+\frac{n-1}{x}f_{n-1}
(vinda da mesma recorrência f_{k+1}=-f_k'+\tfrac{k}{x}f_k).
Substituindo e reorganizando termos em
\;f_n'',f_n',f_n\; resulta
x^2f_n''+2x\,f_n'+\bigl[x^2-n(n+1)\bigr]f_n=0.

Resposta

(a)
f_{n-1}(x)+f_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{x}f_n(x), \quad n\,f_{n-1}(x)-(n+1)\,f_{n+1}(x)=(2n+1)\,f_n'(x).
(b)
x^2f_n''(x)+2x\,f_n'(x)+\bigl[x^2-n(n+1)\bigr]f_n(x)=0.

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