satisfeitas pelas funções esféricas de Bessel e .
(b) Por essas duas relações de recorrência, mostre que a função esférica de Bessel satisfaz a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: . Mostrar que as funções esféricas de Bessel
satisfazem as recorrências
. Usar essas duas relações para mostrar que satisfaz
Vamos usar a definição unificada
onde pode ser , e as recorrências clássicas de Bessel cilíndrica.
Passo 2
As funções de Bessel cilíndricas satisfazem para qualquer :
Tomamos e passamos ao caso esférico via .
Passo 3
Aplicando
obtemos diretamente
Para a segunda recorrência, usamos também
Dessa forma encontra-se
Passo 4
Agora resolvemos o sistema linear
para fn-1 e fn+1. A inversão dá
fn-1=fn'+n+1xfn, fn+1=-fn'+nxfn
]
Passo 5
Para chegar à equação diferencial diferenciamos
fn-1=fn'+n+1xfn
e usamos também, com índice k=n-1, a forma
fn=-fn-1'+n-1xfn-1
(vinda da mesma recorrência fk+1=-fk'+tfrackxfk).
Substituindo e reorganizando termos em ;fn'',fn',fn; resulta