11.7.17 Mostre que as funções esféricas modificadas de Bessel satisfazem as seguintes relações:
,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar as fórmulas
O conteúdo é o de funções esféricas modificadas de Bessel e usaremos indução em
, apoiados na relação de recorrência que envolve a derivada:
Passo 2
Defina o operador
e, para a primeira identidade, o termo
Para
temos
que coincide com
.
Passo 3
Vamos expressar
em função de
. Nota-se que
Mas
, logo
Passo 4
Como
por hipótese de indução, obtemos
usando a recorrência conhecida de
. Assim
para todo
, ou seja,
Passo 5
Para a segunda identidade, defina
Novamente, para
vem
Passo 6
De modo análogo ao caso anterior,
Usando a recorrência de
obtemos
e, por indução,
para todo
.
Resposta
Portanto estão demonstradas as duas fórmulas: