11.7.17 Mostre que as funções esféricas modificadas de Bessel satisfazem as seguintes relações:
i_{n}(x)=x^{n}\left(\frac{1}{x} \frac{d}{d x}\right)^{n} \frac{\operatorname{senh} x}{x},
k_{n}(x)=(-1)^{n} x^{n}\left(\frac{1}{x} \frac{d}{d x}\right)^{n} \frac{e^{-x}}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as fórmulas
i_{n}(x)=x^{n}\Bigl(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\Bigr)^{n}\frac{\operatorname{sinh} x}{x}, \qquad k_{n}(x)=(-1)^{n}x^{n}\Bigl(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\Bigr)^{n}\frac{e^{-x}}{x}.
O conteúdo é o de funções esféricas modificadas de Bessel e usaremos indução em n, apoiados na relação de recorrência que envolve a derivada:
i_{n+1}(x)=i_{n}'(x)-\frac{n}{x}i_{n}(x), \quad k_{n+1}(x)=-\,k_{n}'(x)+\frac{n}{x}k_{n}(x).

Passo 2

Defina o operador
D=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}
e, para a primeira identidade, o termo
B_{n}(x)=x^{n}D^{n}\Bigl(\frac{\operatorname{sinh} x}{x}\Bigr).
Para n=0 temos
B_{0}(x)=x^{0}D^{0}\Bigl(\frac{\operatorname{sinh} x}{x}\Bigr)=\frac{\operatorname{sinh} x}{x},
que coincide com i_{0}(x).

Passo 3

Vamos expressar B_{n+1} em função de B_{n}. Nota-se que
B_{n+1}(x) =x^{n+1}D^{n+1}\Bigl(\frac{\operatorname{sinh} x}{x}\Bigr) =x^{n}D\bigl(x\,D^{n}(\operatorname{sinh} x/x)\bigr).
Mas D^{n}(\operatorname{sinh} x/x)=x^{-n}B_{n}, logo
B_{n+1} =x^{n}D\bigl(x^{-n+1}B_{n}\bigr) =x^{n}\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\bigl(x^{-n}B_{n}\bigr) =B_{n}'-\frac{n}{x}B_{n}.

Passo 4

Como B_{n}=i_{n} por hipótese de indução, obtemos
B_{n+1} =i_{n}'-\frac{n}{x}i_{n} =i_{n+1},
usando a recorrência conhecida de i_{n}. Assim B_{n}=i_{n} para todo n, ou seja,
i_{n}(x) =x^{n}\Bigl(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\Bigr)^{n}\frac{\operatorname{sinh} x}{x}.

Passo 5

Para a segunda identidade, defina
C_{n}(x)=(-1)^{n}x^{n}D^{n}\Bigl(\frac{e^{-x}}{x}\Bigr).
Novamente, para n=0 vem
C_{0}(x)=(-1)^{0}\frac{e^{-x}}{x} =\frac{e^{-x}}{x} =k_{0}(x).

Passo 6

De modo análogo ao caso anterior,
C_{n+1} =(-1)^{n+1}x^{n+1}D^{n+1}\bigl(e^{-x}/x\bigr) =-\,x\,D\bigl((-1)^{n}x^{n}D^{n}(e^{-x}/x)\bigr) =-\bigl(C_{n}'-\tfrac{n}{x}C_{n}\bigr) =-\,C_{n}'+\frac{n}{x}C_{n}.
Usando a recorrência de k_{n} obtemos C_{n+1}=k_{n+1} e, por indução, C_{n}=k_{n} para todo n.

Resposta

Portanto estão demonstradas as duas fórmulas:
i_{n}(x)=x^{n}\Bigl(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\Bigr)^{n}\frac{\operatorname{sinh} x}{x}, \qquad k_{n}(x)=(-1)^{n}x^{n}\Bigl(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\Bigr)^{n}\frac{e^{-x}}{x}.

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