11.7.17 Mostre que as funções esféricas modificadas de Bessel satisfazem as seguintes relações:
in(x)=x^n(1x dd x)^n senh xx,
kn(x)=(-1)^n x^n(1x dd x)^n e^-xx.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as fórmulas
in(x)=x^nl(1xddxr)^nsinh xx, kn(x)=(-1)^nx^nl(1xddxr)^ne^-xx
O conteúdo é o de funções esféricas modificadas de Bessel e usaremos indução em n, apoiados na relação de recorrência que envolve a derivada:
in+1(x)=in'(x)-nxin(x), kn+1(x)=-,kn'(x)+nxkn(x)

Passo 2

Defina o operador
D=1xddx
e, para a primeira identidade, o termo
Bn(x)=x^nD^nl(sinh xxr)
Para n=0 temos
B0(x)=x^0D^0l(sinh xxr)=sinh xx,
que coincide com i0(x).

Passo 3

Vamos expressar Bn+1 em função de Bn. Nota-se que
Bn+1(x) =x^n+1D^n+1l(sinh xxr) =x^nDl(x,D^n(sinh x/x)r)
Mas D^n(sinh x/x)=x^-nBn, logo
Bn+1 =x^nDl(x^-n+1Bnr) =x^n1xddxl(x^-nBnr) =Bn'-nxBn

Passo 4

Como Bn=in por hipótese de indução, obtemos
Bn+1 =in'-nxin =in+1,
usando a recorrência conhecida de in. Assim Bn=in para todo n, ou seja,
in(x) =x^nl(1xddxr)^nsinh xx

Passo 5

Para a segunda identidade, defina
Cn(x)=(-1)^nx^nD^nl(e^-xxr)
Novamente, para n=0 vem
C0(x)=(-1)^0e^-xx =e^-xx =k0(x)

Passo 6

De modo análogo ao caso anterior,
Cn+1 =(-1)^n+1x^n+1D^n+1l(e^-x/xr) =-,x,Dl((-1)^nx^nD^n(e^-x/x)r) =-l(Cn'-tfracnxCnr) =-,Cn'+nxCn
Usando a recorrência de kn obtemos Cn+1=kn+1 e, por indução, Cn=kn para todo n.

Resposta

Portanto estão demonstradas as duas fórmulas:
in(x)=x^nl(1xddxr)^nsinh xx, kn(x)=(-1)^nx^nl(1xddxr)^ne^-xx

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