11.7.5 Prove por indução matemática que
jn(x)=(-1)^n x^n(1x dd x)^n(sen xx),
para n inteiro arbitrário não-negativo.

Passo 1

Vamos provar por indução em n a fórmula
jn(x)=(-1)^n,x^nl(1x,ddxr)^n!l(sin xxr)
Aqui jn(x) é a função de Bessel esférica de ordem n, e definimos o operador
L;=;1x,ddx
Para isso, seja
fn(x);=;(-1)^n,L^n!l(sin xxr)
Mostraremos que
fn(x);=;jn(x)x^n
para todo n>=0. Daí segue imediatamente a fórmula desejada ao multiplicar por x^n.

Passo 2

(Base da indução, n=0).
Temos
f0(x)=(-1)^0,L^0!l(sin xxr)=sin xx
e também
j0(x)x^0=j0(x)=sin xx
Logo f0(x)=j0(x)/x^0, ou seja, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

(Hipótese de indução).
Suponha que, para um n>=0, valha
fn(x)=jn(x)x^n

Passo 4

(Passo indutivo, de n para n+1).
Pela definição de fn+1,
fn+1(x) = (-1)^n+1,L^n+1!l(sin xxr) = -,Ll((-1)^n,L^n(tfracsin xx)r) = -,Ll(fn(x)r)
Como L=(1/x),d/dx, isso é
fn+1(x) = -1x,ddxl(fn(x)r) = -1x,ddxl(jn(x)x^nr),
onde usamos a hipótese de indução. Agora aplicamos a identidade conhecida das funções esféricas de Bessel,
ddxl(jn(x)x^nr) =-,jn+1(x)x^n
Logo
fn+1(x) = -1x,l(-jn+1(x)x^nr) =jn+1(x)x^n+1
Isso mostra que a propriedade se mantém para n+1.

Resposta

Pelo princípio da indução, concluímos que para todo inteiro n>=0
fn(x)=jn(x)x^n Longrightarrow jn(x)=x^n,fn(x) =x^n,l[(-1)^n,L^n!l(tfracsin xxr)r],
ou seja
boxed% jn(x)=(-1)^n,x^n, l(1x,ddxr)^n !l(sin xxr)

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