11.7.5 Prove por indução matemática que
j_{n}(x)=(-1)^{n} x^{n}\left(\frac{1}{x} \frac{d}{d x}\right)^{n}\left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right),
para n inteiro arbitrário não-negativo.

Passo 1

Vamos provar por indução em n a fórmula
j_{n}(x)=(-1)^{n}\,x^{n}\Bigl(\frac{1}{x}\,\frac{d}{dx}\Bigr)^{n}\!\Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr).
Aqui j_{n}(x) é a função de Bessel esférica de ordem n, e definimos o operador
L\;=\;\frac{1}{x}\,\frac{d}{dx}.
Para isso, seja
f_{n}(x)\;=\;(-1)^{n}\,L^{n}\!\Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr).
Mostraremos que
f_{n}(x)\;=\;\frac{j_{n}(x)}{x^{n}}
para todo n\ge0. Daí segue imediatamente a fórmula desejada ao multiplicar por x^n.

Passo 2

(Base da indução, n=0).
Temos
f_{0}(x)=(-1)^{0}\,L^{0}\!\Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr)=\frac{\sin x}{x}
e também
\frac{j_{0}(x)}{x^{0}}=j_{0}(x)=\frac{\sin x}{x}.
Logo f_{0}(x)=j_{0}(x)/x^{0}, ou seja, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

(Hipótese de indução).
Suponha que, para um n\ge0, valha
f_{n}(x)=\frac{j_{n}(x)}{x^{n}}.

Passo 4

(Passo indutivo, de n para n+1).
Pela definição de f_{n+1},
f_{n+1}(x) = (-1)^{n+1}\,L^{n+1}\!\Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr) = -\,L\bigl((-1)^{n}\,L^{n}(\tfrac{\sin x}{x})\bigr) = -\,L\bigl(f_{n}(x)\bigr).
Como L=(1/x)\,d/dx, isso é
f_{n+1}(x) = -\frac{1}{x}\,\frac{d}{dx}\Bigl(f_{n}(x)\Bigr) = -\frac{1}{x}\,\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{j_{n}(x)}{x^{n}}\Bigr),
onde usamos a hipótese de indução. Agora aplicamos a identidade conhecida das funções esféricas de Bessel,
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{j_{n}(x)}{x^{n}}\Bigr) =-\,\frac{j_{n+1}(x)}{x^{n}}.
Logo
f_{n+1}(x) = -\frac{1}{x}\,\Bigl(-\frac{j_{n+1}(x)}{x^{n}}\Bigr) =\frac{j_{n+1}(x)}{x^{n+1}}.
Isso mostra que a propriedade se mantém para n+1.

Resposta

Pelo princípio da indução, concluímos que para todo inteiro n\ge0
f_{n}(x)=\frac{j_{n}(x)}{x^{n}} \quad\Longrightarrow\quad j_{n}(x)=x^{n}\,f_{n}(x) =x^{n}\,\Bigl[(-1)^{n}\,L^{n}\!\Bigl(\tfrac{\sin x}{x}\Bigr)\Bigr],
ou seja
\boxed{% j_{n}(x)=(-1)^{n}\,x^{n}\, \Bigl(\frac{1}{x}\,\frac{d}{dx}\Bigr)^{n} \!\Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr). }

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