11.7.5 Prove por indução matemática que
para
inteiro arbitrário não-negativo.
Passo 1
Vamos provar por indução em
a fórmula
Aqui
é a função de Bessel esférica de ordem
, e definimos o operador
Para isso, seja
Mostraremos que
para todo
. Daí segue imediatamente a fórmula desejada ao multiplicar por
.
Passo 2
(Base da indução,
).
Temos
Temos
e também
Logo
, ou seja, a propriedade vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução).
Suponha que, para um , valha
Suponha que, para um
Passo 4
(Passo indutivo, de
para
).
Pela definição de ,
Pela definição de
Como
, isso é
onde usamos a hipótese de indução. Agora aplicamos a identidade conhecida das funções esféricas de Bessel,
Logo
Isso mostra que a propriedade se mantém para
.
Resposta
Pelo princípio da indução, concluímos que para todo inteiro
ou seja