8.1.25 A função de onda de uma partícula dispersa por um potencial de Coulomb é psi(r, theta). Na origem a função de onda se torna
psi(0)=e^-pi gamma / 2 Gamma(1+i gamma),
em que gamma=Z1 Z2 e^2 / hbar v. Mostre que
|psi(0)|^2=2 pi gammae^2 pi gamma-1

Passo 1

O enunciado dá a função de onda no ponto de origem
psi(0)=e^-pigamma/2,Gamma(1+igamma),
com |psi(0)|^2=2pigammae^2pigamma-1 , e pede para mostrar que
Vamos usar propriedades da função Gama e identidade para o módulo de .

Passo 2

Escrevemos o quadrado do módulo de |psi(0)|^2 =l|e^-pigamma/2r|^2,l|Gamma(1+igamma)r|^2 =e^-pigamma,l|Gamma(1+igamma)r|^2 :

Passo 3

Usamos a relação funcional da Gama, Gamma(1+igamma)=igamma,Gamma(igamma) Longrightarrow l|Gamma(1+igamma)r|^2 =l|igammar|^2,l|Gamma(igamma)r|^2 =gamma^2,l|Gamma(igamma)r|^2 , com :

Passo 4

Empregamos a identidade conhecida
l|Gamma(igamma)r|^2 =pigamma,sinh(pigamma)
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l|Gamma(1+igamma)r|^2 =gamma^2,pigamma,sinh(pigamma) =pi,gammasinh(pigamma)

Passo 5

Substituímos no passo 2:
|psi(0)|^2 =e^-pigamma,pi,gammasinh(pigamma) =pigamma,e^-pigammasinh(pigamma)
Como e^-pigammasinh(pigamma) =2,e^-pigammae^pigamma-e^-pigamma =2e^2pigamma-1 , temos
|psi(0)|^2 =pigammacdot2e^2pigamma-1 =2pigammae^2pigamma-1
Portanto

Resposta

|psi(0)|^2=2pigammae^2pigamma-1

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