8.1.25 A função de onda de uma partícula dispersa por um potencial de Coulomb é \psi(r, \theta). Na origem a função de onda se torna
\psi(0)=e^{-\pi \gamma / 2} \Gamma(1+i \gamma),
em que \gamma=Z_{1} Z_{2} e^{2} / \hbar v. Mostre que
|\psi(0)|^{2}=\frac{2 \pi \gamma}{e^{2 \pi \gamma}-1}

Passo 1

O enunciado dá a função de onda no ponto de origem
\psi(0)=e^{-\pi\gamma/2}\,\Gamma(1+i\gamma),
com \gamma=Z_{1}Z_{2}e^{2}/(\hbar v), e pede para mostrar que
|\psi(0)|^{2}=\frac{2\pi\gamma}{e^{2\pi\gamma}-1}.
Vamos usar propriedades da função Gama e identidade para o módulo de \Gamma(i\gamma).

Passo 2

Escrevemos o quadrado do módulo de \psi(0):
|\psi(0)|^{2} =\bigl|e^{-\pi\gamma/2}\bigr|^{2}\,\bigl|\Gamma(1+i\gamma)\bigr|^{2} =e^{-\pi\gamma}\,\bigl|\Gamma(1+i\gamma)\bigr|^{2}.

Passo 3

Usamos a relação funcional da Gama, \Gamma(1+z)=z\,\Gamma(z), com z=i\gamma:
\Gamma(1+i\gamma)=i\gamma\,\Gamma(i\gamma) \quad\Longrightarrow\quad \bigl|\Gamma(1+i\gamma)\bigr|^{2} =\bigl|i\gamma\bigr|^{2}\,\bigl|\Gamma(i\gamma)\bigr|^{2} =\gamma^{2}\,\bigl|\Gamma(i\gamma)\bigr|^{2}.

Passo 4

Empregamos a identidade conhecida
\bigl|\Gamma(i\gamma)\bigr|^{2} =\frac{\pi}{\gamma\,\operatorname{sinh}(\pi\gamma)}.
Logo
\bigl|\Gamma(1+i\gamma)\bigr|^{2} =\gamma^{2}\,\frac{\pi}{\gamma\,\operatorname{sinh}(\pi\gamma)} =\frac{\pi\,\gamma}{\operatorname{sinh}(\pi\gamma)}.

Passo 5

Substituímos no passo 2:
|\psi(0)|^{2} =e^{-\pi\gamma}\,\frac{\pi\,\gamma}{\operatorname{sinh}(\pi\gamma)} =\pi\gamma\,\frac{e^{-\pi\gamma}}{\operatorname{sinh}(\pi\gamma)}.
Como \operatorname{sinh}(\pi\gamma)=(e^{\pi\gamma}-e^{-\pi\gamma})/2, temos
\frac{e^{-\pi\gamma}}{\operatorname{sinh}(\pi\gamma)} =\frac{2\,e^{-\pi\gamma}}{e^{\pi\gamma}-e^{-\pi\gamma}} =\frac{2}{e^{2\pi\gamma}-1}.
Portanto
|\psi(0)|^{2} =\pi\gamma\cdot\frac{2}{e^{2\pi\gamma}-1} =\frac{2\pi\gamma}{e^{2\pi\gamma}-1}.

Resposta

|\psi(0)|^{2}=\frac{2\pi\gamma}{e^{2\pi\gamma}-1}.

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