8.1.29 Usando GAMMA fornecida pelo FORTRAN ou uma sub-rotina fornecida por uma biblioteca para
! ou
, determine o valor de
para o qual
é um mínimo (
) e esse mínimo valor de
. Observe que, embora o valor mínimo de
possa ser obtido até cerca de cinco algarismos significativos (precisão única), o valor correspondente de
é muito menos preciso. Por que essa precisão relativamente baixa?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ponto
em que a função
é mínima e calcular esse valor mínimo. O conteúdo matemático necessário inclui a definição da função Gamma, sua derivada (a função digama
) e um método numérico (por exemplo, Newton) para resolver
.
Passo 2
Para achar extremos de
usamos que
onde
é a função digama. No mínimo deve valer
Passo 3
Aplicamos o método de Newton para resolver
. A iteração é
onde
é a trigama (poligama de ordem 1).
Escolhendo :
Escolhendo
Repetindo mais uma vez obtemos
que já converge ao valor do mínimo em nosso intervalo.
Passo 4
Calculando
(com a sub-rotina de Fortran ou biblioteca) obtemos
Passo 5
Apesar de
no mínimo poder ser obtida com cerca de cinco algarismos significativos, o valor de
é menos preciso porque a curva de
é bastante “achatada” em torno do mínimo. Isso significa que pequenas variações em
produzem mudanças ainda menores em
, tornando a determinação de
numericamente pouco condicionada.
Resposta
O ponto de mínimo em
é aproximadamente
e o valor mínimo é
A precisão em
é baixa devido à planura da curva de
perto do mínimo.