8.1.29 Usando GAMMA fornecida pelo FORTRAN ou uma sub-rotina fornecida por uma biblioteca para x ! ou Gamma(x), determine o valor de x para o qual Gamma(x) é um mínimo ( 1 <= x <= 2 ) e esse mínimo valor de Gamma(x). Observe que, embora o valor mínimo de Gamma(x) possa ser obtido até cerca de cinco algarismos significativos (precisão única), o valor correspondente de x é muito menos preciso. Por que essa precisão relativamente baixa?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto xin[1,2] em que a função Gamma(x) é mínima e calcular esse valor mínimo. O conteúdo matemático necessário inclui a definição da função Gamma, sua derivada (a função digama psi(x)) e um método numérico (por exemplo, Newton) para resolver psi(x)=0.

Passo 2

Para achar extremos de Gamma(x) usamos que
ddx,Gamma(x)=psi(x),Gamma(x),
onde psi(x) é a função digama. No mínimo deve valer
psi(x)=0

Passo 3

Aplicamos o método de Newton para resolver psi(x)=0. A iteração é
xn+1=xn - psi(xn)psi'(xn),
onde psi'(x) é a trigama (poligama de ordem 1).
Escolhendo x0=1,5:
psi(1,5)approx0,03648997, psi'(1,5)approx0,9348022
x1=1,5-0,036489970,9348022approx1,46099
Repetindo mais uma vez obtemos
x2approx1,461632,
que já converge ao valor do mínimo em nosso intervalo.

Passo 4

Calculando Gammal(1,461632r) (com a sub-rotina de Fortran ou biblioteca) obtemos
Gamma(1,461632)approx0,885603

Passo 5

Apesar de Gamma(x) no mínimo poder ser obtida com cerca de cinco algarismos significativos, o valor de x é menos preciso porque a curva de Gamma(x) é bastante “achatada” em torno do mínimo. Isso significa que pequenas variações em x produzem mudanças ainda menores em Gamma(x), tornando a determinação de x numericamente pouco condicionada.

Resposta

O ponto de mínimo em [1,2] é aproximadamente
xapprox1,461632,
e o valor mínimo é
Gamma(1,461632)approx0,885603
A precisão em x é baixa devido à planura da curva de Gamma perto do mínimo.

Exercícios de Livros Relacionados