8.1.29 Usando GAMMA fornecida pelo FORTRAN ou uma sub-rotina fornecida por uma biblioteca para x ! ou \Gamma(x), determine o valor de x para o qual \Gamma(x) é um mínimo ( 1 \leq x \leq 2 ) e esse mínimo valor de \Gamma(x). Observe que, embora o valor mínimo de \Gamma(x) possa ser obtido até cerca de cinco algarismos significativos (precisão única), o valor correspondente de x é muito menos preciso. Por que essa precisão relativamente baixa?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto x\in[1,2] em que a função \Gamma(x) é mínima e calcular esse valor mínimo. O conteúdo matemático necessário inclui a definição da função Gamma, sua derivada (a função digama \psi(x)) e um método numérico (por exemplo, Newton) para resolver \psi(x)=0.

Passo 2

Para achar extremos de \Gamma(x) usamos que
\frac{d}{dx}\,\Gamma(x)=\psi(x)\,\Gamma(x),
onde \psi(x) é a função digama. No mínimo deve valer
\psi(x)=0.

Passo 3

Aplicamos o método de Newton para resolver \psi(x)=0. A iteração é
x_{n+1}=x_n - \frac{\psi(x_n)}{\psi'(x_n)},
onde \psi'(x) é a trigama (poligama de ordem 1).
Escolhendo x_0=1{,}5:
\psi(1{,}5)\approx0{,}03648997,\quad \psi'(1{,}5)\approx0{,}9348022
x_1=1{,}5-\frac{0{,}03648997}{0{,}9348022}\approx1{,}46099.
Repetindo mais uma vez obtemos
x_2\approx1{,}461632,
que já converge ao valor do mínimo em nosso intervalo.

Passo 4

Calculando \Gamma\bigl(1{,}461632\bigr) (com a sub-rotina de Fortran ou biblioteca) obtemos
\Gamma(1{,}461632)\approx0{,}885603.

Passo 5

Apesar de \Gamma(x) no mínimo poder ser obtida com cerca de cinco algarismos significativos, o valor de x é menos preciso porque a curva de \Gamma(x) é bastante “achatada” em torno do mínimo. Isso significa que pequenas variações em x produzem mudanças ainda menores em \Gamma(x), tornando a determinação de x numericamente pouco condicionada.

Resposta

O ponto de mínimo em [1,2] é aproximadamente
x\approx1{,}461632,
e o valor mínimo é
\Gamma(1{,}461632)\approx0{,}885603.
A precisão em x é baixa devido à planura da curva de \Gamma perto do mínimo.

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