8.1.11 Mostre que
.
Essas integrais gaussianas são de extrema importância em mecânica estatística.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
é um inteiro não negativo e
. O conteúdo-chave aqui é reconhecer essa integral como uma forma da definição da função Gama.
Passo 2
Lembrando a definição da função Gama, para
temos
Em particular, se
com
, então
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
Note que
. Assim,
Substituindo na integral original, obtemos
Passo 4
O integral que resta é exatamente
, logo
Portanto