8.1.11 Mostre que
\int_{0}^{\infty} x^{2 s+1} \exp \left(-a x^{2}\right) d x=\frac{s !}{2 a^{s+1}}.
Essas integrais gaussianas são de extrema importância em mecânica estatística.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int_{0}^{\infty} x^{2s+1} \exp\bigl(-a x^{2}\bigr)\,dx = \frac{s!}{2\,a^{s+1}},
onde s é um inteiro não negativo e a>0. O conteúdo-chave aqui é reconhecer essa integral como uma forma da definição da função Gama.

Passo 2

Lembrando a definição da função Gama, para z>0 temos
\Gamma(z) \;=\; \int_{0}^{\infty} t^{\,z-1} e^{-t}\,dt.
Em particular, se z=s+1 com s\in\{0,1,2,\dots\}, então
\Gamma(s+1) = s!.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t = a\,x^{2}\quad\Longrightarrow\quad dt = 2\,a\,x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{2a}.
Note que x^{2s} = (t/a)^{s}. Assim,
x^{2s+1}dx = x^{2s}\,(x\,dx) = \bigl(t/a\bigr)^{s}\,\frac{dt}{2a} = \frac{1}{2\,a^{s+1}}\,t^{s}\,dt.
Substituindo na integral original, obtemos
\int_{0}^{\infty} x^{2s+1} e^{-a x^{2}}\,dx = \frac{1}{2\,a^{s+1}} \int_{0}^{\infty} t^{s} e^{-t}\,dt.

Passo 4

O integral que resta é exatamente \Gamma(s+1), logo
\int_{0}^{\infty} t^{s} e^{-t}\,dt = \Gamma(s+1) = s!.
Portanto
\int_{0}^{\infty} x^{2s+1} e^{-a x^{2}}\,dx = \frac{1}{2\,a^{s+1}}\,s! = \frac{s!}{2\,a^{s+1}}.

Resposta

\int_{0}^{\infty} x^{2s+1} \exp\bigl(-a x^{2}\bigr)\,dx = \frac{s!}{2\,a^{s+1}}.

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