8.1.11 Mostre que
.
Essas integrais gaussianas são de extrema importância em mecânica estatística.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral0^infty x^2s+1 expl(-a x^2r),dx = s!2,a^s+1,
onde é um inteiro não negativo e . O conteúdo-chave aqui é reconhecer essa integral como uma forma da definição da função Gama.

Passo 2

Lembrando a definição da função Gama, para Gamma(z) ;=; integral0^infty t^,z-1 e^-t,dt temos
Gamma(s+1) = s!
Em particular, se com , então

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t = a,x^2Longrightarrow dt = 2,a,x,dx Longrightarrow x,dx = dt2a
Note que x^2s+1dx = x^2s,(x,dx) = l(t/ar)^s,dt2a = 12,a^s+1,t^s,dt . Assim,
integral0^infty x^2s+1 e^-a x^2,dx = 12,a^s+1 integral0^infty t^s e^-t,dt
Substituindo na integral original, obtemos

Passo 4

O integral que resta é exatamente integral0^infty t^s e^-t,dt = Gamma(s+1) = s! , logo
integral0^infty x^2s+1 e^-a x^2,dx = 12,a^s+1,s! = s!2,a^s+1
Portanto

Resposta

integral0^infty x^2s+1 expl(-a x^2r),dx = s!2,a^s+1

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