Funções Analíticas. Encontre
com
ou
conforme dados. Verifique se as funções são analíticas.
v=e{x{2}-y^{2}} sen 2 x y
v=e{x{2}-y^{2}} sen 2 x y
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a parte real
de uma função
analítica, sabendo que
O conteúdo é achar o conjugado harmónico via as equações de Cauchy–Riemann e verificar a analiticidade.
Passo 2
Escrevemos as equações de Cauchy–Riemann
e calculamos as derivadas parciais de
. Usando produto e cadeia,
Passo 3
Da primeira equação de Cauchy–Riemann
temos
Integramos em
:
pois
produz exatamente os termos acima.
Passo 4
Da segunda equação
calculamos
Devemos igualar a
:
Daí
, logo
constante. Podemos tomar a constante zero sem perda de generalidade.
Passo 5
Concluímos que
Assim
Como
é inteira, as equações de Cauchy–Riemann estão satisfeitas e
é analítica em todo
.