Funções Analíticas. Encontre f(z)=u(x, y)+i v(x, y) com u ou v conforme dados. Verifique se as funções são analíticas.
v=e{x{2}-y^{2}} sen 2 x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a parte real u(x,y) de uma função f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) analítica, sabendo que
v(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}\sin(2xy).
O conteúdo é achar o conjugado harmónico via as equações de Cauchy–Riemann e verificar a analiticidade.

Passo 2

Escrevemos as equações de Cauchy–Riemann
u_x = v_y, \quad u_y = -\,v_x
e calculamos as derivadas parciais de v. Usando produto e cadeia,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x^2-y^2}\sin(2xy)\bigr) =2x\,e^{x^2-y^2}\sin(2xy)+2y\,e^{x^2-y^2}\cos(2xy),
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^2-y^2}\sin(2xy)\bigr) =-2y\,e^{x^2-y^2}\sin(2xy)+2x\,e^{x^2-y^2}\cos(2xy).

Passo 3

Da primeira equação de Cauchy–Riemann u_x = v_y temos
u_x =-2y\,e^{x^2-y^2}\sin(2xy)+2x\,e^{x^2-y^2}\cos(2xy).
Integramos em x:
u(x,y) =\int u_x\,dx =e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+h(y),
pois \frac{d}{dx}\bigl[e^{x^2-y^2}\cos(2xy)\bigr] produz exatamente os termos acima.

Passo 4

Da segunda equação u_y = -v_x calculamos
u_y =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+h(y)\bigr] =-2y\,e^{x^2-y^2}\cos(2xy)-2x\,e^{x^2-y^2}\sin(2xy)+h'(y).
Devemos igualar a -v_x:
-\,v_x =-2x\,e^{x^2-y^2}\sin(2xy)-2y\,e^{x^2-y^2}\cos(2xy).
Daí h'(y)=0, logo h(y)= constante. Podemos tomar a constante zero sem perda de generalidade.

Passo 5

Concluímos que
u(x,y)=e^{x^2-y^2}\cos(2xy).
Assim
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) =e^{x^2-y^2}\bigl[\cos(2xy)+i\sin(2xy)\bigr] =e^{\,x^2-y^2+i\,2xy} =e^{\,z^2}.
Como e^{z^2} é inteira, as equações de Cauchy–Riemann estão satisfeitas e f é analítica em todo \mathbb{C}.

Resposta

u(x,y) = e^{x^{2} - y^{2}} \cos(2xy),
f(z) = e^{z^{2}}, que é inteira (analítica em todo \mathbb{C}).

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