A regra de l’Hôpital afirma que, se lim x a f(x)=0 e lim x a g(x)=0, então
lim x a f(x)g(x)=lim x a f^prime(x)g^prime(x)
contanto que o limite do membro direito exista. Aplicando essa regra, determinar os seguintes limites:
A regra continua válida quando f / g assume a “forma indeterminada” infty / infty para x=a, e também quando x tende a infinito. Calcular:
lim x 0 sen^2 x1-sec x.

Passo 1

O enunciado pede
limxto0sin^2 x1-sec x
e sugere usar a regra de l’Hôpital, válida quando a forma é 0/0. Para aplicar, vamos definir
f(x)=sin^2 x, g(x)=1-sec x,
verificar que ambos tendem a zero em xto0 e então calcular lim f'(x)/g'(x).

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
sin^2 xto0 e sec xto1 fazem 1-sec xto0. Logo f(x)g(x) é 0/0 e podemos usar l’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
f'(x)=2sin xcos x=sin(2x),
g'(x)=-ddx(sec x)=-sec xtan x
Pela regra de l’Hôpital,
limxto0sin^2 x1-sec x =limxto0sin(2x)-sec xtan x

Passo 4

Simplificamos o quociente:
sen(2x)-sec xtan x =2sen xcos x-,1cos x,sen xcos x =-2cos^3x
Portanto
limxto0sen^2x1-sec x =limxto0(-2cos^3x)=-2

Resposta

-2

Exercícios de Livros Relacionados