Determinar o pé da perpendicular do ponto à reta

Passo 1

O enunciado pede o pé da perpendicular do ponto P=(1,1,1) à reta r dada em forma simétrica. O conteúdo aqui é geometria analítica em R^3: para achar o pé da perpendicular basta parametrizar a reta, obter um ponto genérico Q(t) nela e impor que o vetor PQ seja ortogonal ao vetor diretor de r.

Passo 2

Escolhemos como parâmetro
t=x-12=y+13=z-1-1
Daí a parametrização da reta é
Q(t)=l(1+2t,,-1+3t,,1-tr),
e o vetor diretor é
v=(2,,3,,-1)

Passo 3

O vetor PQ vai de P a Q(t), logo
PQ = Q(t)-P = l(2t,;3t-2,;-tr)
A condição de perpendicularidade é
PQcdot v =0

Passo 4

Calculando o produto escalar:
PQcdot v = (2t)cdot2 + (3t-2)cdot3 + (-t)cdot(-1) =4t +9t -6 + t =14t -6
Impondo 14t-6=0 obtemos
t0 = 614 = 37

Passo 5

Substituindo t0=tfrac37 em Q(t)
x = 1 + 2cdot37 = 137, y = -1 + 3cdot37 = 27, z = 1 - 37 = 47

Resposta

O pé da perpendicular é l(tfrac137,,tfrac27,,tfrac47r).

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