As funções cosh x (cosseno hiperbólico) e senh x (seno hiperbólico) são definidas pelas fórmulas:
cosh x=e^x+e^-x2, senh x=e^x-e^-x2
Traçar o gráfico dessas funções e o gráfico da função
tgh x=senh xcosh x
Mostrar que:
cosh 2 x=cosh ^2 x+senh^2 x,

Passo 1

O enunciado define as funções hiperbólicas por
cosh x = e^x+e^-x2, senh x = e^x-e^-x2,
pede para traçar os gráficos de cosh x, senh x e de
tgh x = dfracsenh xcosh x,
e ainda demonstrar a identidade
cosh 2x = cosh^2x + senh^2x.
Vamos usar análise de simetria, derivadas e comportamento assintótico para esboçar os gráficos, e álgebra de exponenciais para a identidade.

Passo 2

Análise de cosh x:
– Domínio: todo xinR.
– Simetria: é função par, pois e^-x+e^x=e^x+e^-x, logo cosh(-x)=cosh x.
– Derivada:
ddxcosh x = senh x,
que é zero só em x=0, logo mínimo em x=0.
– Valor mínimo: cosh 0 = 1.
– Comportamento em pminfty: para xto+infty, cosh xsimtfrac12e^xto+infty; idem para xto-infty.
Esboço: curva em forma de “U” com base em (0,1), mesmo crescimento exponencial para xtopminfty.

Passo 3

Análise de senh x:
– Domínio: todo xinR.
– Simetria: é função ímpar, pois senh(-x) = -senh x.
– Derivada:
ddxsenh x = cosh x>0forall x,
logo é estritamente crescente.
– Comportamento em pminfty: para xto+infty, senh xsimtfrac12e^xto+infty; para xto-infty, senh xsim-tfrac12e^-xto-infty.
Esboço: curva em “S” sem assíntotas, cruzando a origem e tendendo a pminfty.

Passo 4

Análise de tgh x = dfracsenh xcosh x:
– Domínio: todo xinR (pois cosh x>=1neq0).
– Simetria: é função ímpar, tgh(-x)=-tgh x.
– Limites nas extremidades:
limxto+inftytgh x = 1, limxto-inftytgh x = -1
– Derivada positiva (função crescente).
Esboço: curva em “S” com assíntotas horizontais y=1 e y=-1, cruzando a origem.

Passo 5

Demonstração de cosh 2x = cosh^2x + senh^2x:
Usando as definições,
cosh^2x + senh^2x = (e^x+e^-x)^24 + (e^x-e^-x)^24
Expandindo:
e^2x+2+e^-2x4 + e^2x-2+e^-2x4 = 2e^2x + 2e^-2x4 = e^2x+e^-2x2 = cosh 2x

Resposta

Gráficos:
  • cosh x: função par em forma de “U” com mínimo em (0,1) e crescimento exponencial em pminfty.
  • senh x: função ímpar, estritamente crescente, forma de “S” cruzando a origem e tendendo a pminfty.
  • tgh x: função ímpar em “S” com assíntotas horizontais y=pm1.
Identidade demonstrada:
cosh 2x = cosh^2x + senh^2x

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