As funções
(cosseno hiperbólico) e
(seno hiperbólico) são definidas pelas fórmulas:
Traçar o gráfico dessas funções e o gráfico da função
Mostrar que:
,
Passo 1
O enunciado define as funções hiperbólicas por
pede para traçar os gráficos de
,
e de
,
e ainda demonstrar a identidade
.
Vamos usar análise de simetria, derivadas e comportamento assintótico para esboçar os gráficos, e álgebra de exponenciais para a identidade.
e ainda demonstrar a identidade
Vamos usar análise de simetria, derivadas e comportamento assintótico para esboçar os gráficos, e álgebra de exponenciais para a identidade.
Passo 2
Análise de
:
– Domínio: todo .
– Simetria: é função par, pois , logo
.
– Derivada:
– Domínio: todo
– Simetria: é função par, pois
– Derivada:
que é zero só em
, logo mínimo em
.
– Valor mínimo: .
– Comportamento em : para
,
; idem para
.
Esboço: curva em forma de “U” com base em , mesmo crescimento exponencial para
.
– Valor mínimo:
– Comportamento em
Esboço: curva em forma de “U” com base em
Passo 3
Análise de
:
– Domínio: todo .
– Simetria: é função ímpar, pois .
– Derivada:
– Domínio: todo
– Simetria: é função ímpar, pois
– Derivada:
logo é estritamente crescente.
– Comportamento em : para
,
; para
,
.
Esboço: curva em “S” sem assíntotas, cruzando a origem e tendendo a .
– Comportamento em
Esboço: curva em “S” sem assíntotas, cruzando a origem e tendendo a
Passo 4
Análise de
:
– Domínio: todo (pois
).
– Simetria: é função ímpar, .
– Limites nas extremidades:
– Domínio: todo
– Simetria: é função ímpar,
– Limites nas extremidades:
– Derivada positiva (função crescente).
Esboço: curva em “S” com assíntotas horizontais e
, cruzando a origem.
Esboço: curva em “S” com assíntotas horizontais
Passo 5
Demonstração de
:
Usando as definições,
Usando as definições,
Expandindo:
Resposta
Gráficos:
-
: função par em forma de “U” com mínimo em e crescimento exponencial em . -
: função ímpar, estritamente crescente, forma de “S” cruzando a origem e tendendo a . -
: função ímpar em “S” com assíntotas horizontais .
Identidade demonstrada: