As funções \operatorname{erf}(x) e \operatorname{erfc}(x) são definidas para x<0. Utilize um SAC para superpor os gráficos de \operatorname{erf}(x) e \operatorname{erfc}(x) nos mesmos eixos para -10 \leq x \leq 10. Os gráficos possuem alguma simetria? Quais são os resultados de \lim _{x \rightarrow-\infty} \operatorname{erf}(x) \mathrm{e} \lim _{x \rightarrow-\infty} \operatorname{erfc}(x) ?

Passo 1

O enunciado pede para, usando um SAC (por exemplo Python/SciPy), traçar os gráficos de \operatorname{erf}(x) e \operatorname{erfc}(x) no mesmo sistema de eixos para -10 \le x \le 10, investigar se eles apresentam alguma simetria e por fim determinar
\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\operatorname{erf}(x)
e
\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\operatorname{erfc}(x).

Passo 2

Para sobrepor os gráficos, podemos usar Python com as bibliotecas numpy, matplotlib e scipy.special. Por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import erf, erfc

x \(=\) np.linspace(-\(10\), \(10\), \(500\))
y\(1=\) erf(x)
y\(2=\) erfc(x)

plt.plot(x, y\(1\), label\(=\)'erf(x)')
plt.plot(x, y\(2\), label\(=\)'erfc(x)')
plt.axhline(\(0\), color\(=\)'black', lw\(=0.5\))
plt.axvline(\(0\), color\(=\)'black', lw\(=0.5\))
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('funções de erro')
plt.title('Gráficos de erf(x) e erfc(x) para -\(10<=\) x \(<=10\)')
plt.show()
Esse script plota as duas curvas no mesmo eixo.

Passo 3

Analisando as definições conhecidas:
\operatorname{erf}(-x) = -\,\operatorname{erf}(x),
ou seja, \operatorname{erf} é uma função ímpar.
Como \operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x), segue que
\operatorname{erfc}(-x) = 1 - \operatorname{erf}(-x) = 1 + \operatorname{erf}(x) = 2 - \bigl(1 - \operatorname{erf}(x)\bigr) = 2 - \operatorname{erfc}(x).
Portanto \operatorname{erfc} não é ímpar nem par, mas tem simetria refletida em torno de y=1.

Passo 4

Usando os limites padrão da função erro, temos
\lim_{x\to -\infty} \operatorname{erf}(x) = -1, \qquad \lim_{x\to -\infty} \operatorname{erfc}(x) = 2.

Resposta

As funções apresentam as seguintes simetrias:
\operatorname{erf}(x) é ímpar, ou seja, \operatorname{erf}(-x)=-\operatorname{erf}(x).
\operatorname{erfc}(x) satisfaz \operatorname{erfc}(-x)=2-\operatorname{erfc}(x), refletindo-se em torno de y=1.
Os limites são
\lim_{x\to -\infty}\operatorname{erf}(x) = -1, \qquad \lim_{x\to -\infty}\operatorname{erfc}(x) = 2.

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