(Fuvest-18) Em uma competição de vôlei, estão inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e. ao final da competição. eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm 1/2 probabilidade de vencer.
a) Explique por que 2 times năo podem cmpatar na classificaçāo com 4 vitórias cada um.
b) Qual é a probabilidade de que o primeiro classiticado termine a competição com 4 vitórias?

Passo 1

O enunciado trata de uma competição entre 5 times, onde cada par de times joga exatamente uma vez (total de \binom{5}{2}=10 partidas) e cada partida tem probabilidade 1/2 de vitória para cada time. Cada time faz 4 jogos, e a classificação é determinada pelo número de vitórias, sendo que empates na classificação ocorrem quando dois ou mais times têm o mesmo número de vitórias.

Passo 2

Para mostrar que não pode haver dois times com 4 vitórias cada, note que se dois times quaisquer, digamos A e B, terminassem ambos com 4 vitórias, então ambos teriam vencido todas as suas 4 partidas. Mas como A e B se enfrentam exatamente uma vez, nessa partida um dos dois teria que perder, o que impede que ambos cheguem a 4 vitórias. Logo, no máximo um time pode terminar com 4 vitórias.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de que o primeiro classificado termine com 4 vitórias, basta calcular a probabilidade de que exista algum time que vença todos os seus 4 jogos. Seja A_i o evento “o time i faz 4 vitórias”. Temos
P(A_i) = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^4 = \tfrac{1}{16},
pois são 4 partidas independentes com probabilidade 1/2 de vitória em cada uma. Pelas observações anteriores, dois desses eventos A_i e A_j ( i\neq j) não podem ocorrer simultaneamente, isto é, são disjuntos. Portanto, a probabilidade de que algum dos 5 times consiga 4 vitórias é
P\bigl(\bigcup_{i=1}^{5} A_i\bigr) =\sum_{i=1}^{5}P(A_i) =5\cdot\tfrac{1}{16} =\tfrac{5}{16}.

Resposta

\tfrac{5}{16}

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