(Fuvest-18) Em uma competição de vôlei, estão inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e. ao final da competição. eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm 1/2 probabilidade de vencer.
a) Explique por que 2 times năo podem cmpatar na classificaçāo com 4 vitórias cada um.
b) Qual é a probabilidade de que o primeiro classiticado termine a competição com 4 vitórias?
a) Explique por que 2 times năo podem cmpatar na classificaçāo com 4 vitórias cada um.
b) Qual é a probabilidade de que o primeiro classiticado termine a competição com 4 vitórias?
Passo 1
O enunciado trata de uma competição entre
times, onde cada par de times joga exatamente uma vez (total de
partidas) e cada partida tem probabilidade
de vitória para cada time. Cada time faz
jogos, e a classificação é determinada pelo número de vitórias, sendo que empates na classificação ocorrem quando dois ou mais times têm o mesmo número de vitórias.
Passo 2
Para mostrar que não pode haver dois times com
vitórias cada, note que se dois times quaisquer, digamos
e
, terminassem ambos com
vitórias, então ambos teriam vencido todas as suas
partidas. Mas como
e
se enfrentam exatamente uma vez, nessa partida um dos dois teria que perder, o que impede que ambos cheguem a
vitórias. Logo, no máximo um time pode terminar com
vitórias.
Passo 3
Para encontrar a probabilidade de que o primeiro classificado termine com
vitórias, basta calcular a probabilidade de que exista algum time que vença todos os seus
jogos. Seja
o evento “o time
faz
vitórias”. Temos
pois são
partidas independentes com probabilidade
de vitória em cada uma. Pelas observações anteriores, dois desses eventos
e
(
) não podem ocorrer simultaneamente, isto é, são disjuntos. Portanto, a probabilidade de que algum dos
times consiga
vitórias é