(Fuvest-SP) Considere a matriz
A=[rra & 2 a+1 a-1 & a+1], em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A^-1 cuja primeira coluna é [c2 a-1 -1], a soma dos elementos da diagonal principal de A^-1 é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = a & 2a+1 a-1 & a+1
e diz que A é invertível e que a primeira coluna de A^-1 é
2a-1-1.
Conteúdo: usamos a fórmula do inverso de uma matriz 2times2 e igualamos a primeira coluna ao vetor dado, depois calculamos a soma dos elementos da diagonal principal de A^-1.

Passo 2

Para uma matriz genérica
temos
No nosso caso , , , . Então
e
A primeira coluna de é
que deve ser igual a
.

Passo 3

Igualando a segunda componente da primeira coluna:
-a-1det(A) = -1 Longrightarrow a-1det(A) = 1 Longrightarrow det(A) = a-1
Mas det(A)=-a^2+2a+1, logo
-a^2+2a+1 = a-1 Longrightarrow a^2 - a - 2 = 0 Longrightarrow (a-2)(a+1)=0
Testando a=2 em ambas componentes, funciona; a=-1 falha na primeira componente. Portanto a=2.

Passo 4

Com a=2 temos det(A)=2-1=1 e
A^-1 = a+1 & -(2a+1) -(a-1) & a ,a=2 = 3 & -5 -1 & 2

Passo 5

A soma dos elementos da diagonal principal de A^-1 é
3 + 2 = 5

Resposta

5

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