(Fuvest-SP) A esfera
, de centro O e raio r
, é tangente ao plano
. O plano
é paralelo a
e contém
. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de
e, como vértice, um ponto em
, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá uma esfera
de centro
e raio
, tangente ao plano
. O plano
passa por
e é paralelo a
. Intersectando
com
obtemos um círculo onde se inscreve um hexágono regular que será a base da pirâmide; o vértice da pirâmide é o ponto de tangência
de
com
. Para achar o volume dessa pirâmide, vamos usar a fórmula
Passo 2
Como
é tangente a
, a distância de
a
é
. Mas
passa por
e é paralela a
, logo a distância entre
e
é também
que é a altura da pirâmide.
Passo 3
A intersecção de
com
é um círculo de raio
. Num hexágono regular inscrito num círculo de raio
, o lado vale
e a área da base é
Passo 4
Aplicando
temos
Resposta
e)