(Fuvest-SP) A esfera varepsilon, de centro O e raio r >0, é tangente ao plano alpha. O plano beta é paralelo a alpha e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de varepsilon com beta e, como vértice, um ponto em alpha, é igual a:
a) raiz3 r^34
b) 5 raiz3 r^316
c) 3 raiz3 r^38
d) 7 raiz3 r^316
e) raiz3 r^32

Passo 1

O enunciado dá uma esfera varepsilon de centro O e raio r, tangente ao plano alpha. O plano beta passa por O e é paralelo a alpha. Intersectando varepsilon com beta obtemos um círculo onde se inscreve um hexágono regular que será a base da pirâmide; o vértice da pirâmide é o ponto de tangência T de varepsilon com alpha. Para achar o volume dessa pirâmide, vamos usar a fórmula
V = área da basetimesa<ura3 á

Passo 2

Como varepsilon é tangente a alpha, a distância de O a alpha é r. Mas beta passa por O e é paralela a alpha, logo a distância entre beta e alpha é também
h = r,
que é a altura da pirâmide.

Passo 3

A intersecção de varepsilon com beta é um círculo de raio r. Num hexágono regular inscrito num círculo de raio r, o lado vale r e a área da base é
Abase = 3raiz32,r^2

Passo 4

Aplicando
V = Abasecdot h3
temos
V = l(tfrac3raiz32,r^2r)cdot r3 = 3raiz3,r^32cdot3 = raiz3,r^32

Resposta

e) raiz3,r^32

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