(Fuvest-SP) Sabe-se sobre a progressão geométrica a1, a2, a3, ldots, que a1>0 e a6=-9 raiz3. Além disso, a progressão geométrica a1, a5, a9, ldots tem razão igual a 9 . Nessas condições, o produto a2 cdot a7 vale:
a) -27 raiz3
b) -3 raiz3
c) -raiz3
d) 3 raiz3

Passo 1

Resumindo: temos uma PG cujos termos são a1,a2,dots com a1>0 e a6=-9raiz3. Além disso, a subsequência a1,a5,a9,dots é uma PG de razão 9. Queremos o valor de a2cdot a7. Vamos usar a fórmula geral
an = a1 q^,n-1
e o fato de que a razão dessa subsequência é q^4.

Passo 2

Da subsequência a1,a5,a9,dots temos
a5a1=q^4=9
logo q^4=9 e q=pmraiz3. Como a6=a1q^5=-9raiz3 é negativo e a1>0, concluímos que
q=-raiz3

Passo 3

Usando a6=a1q^5, calculemos
q^5 =(-raiz3)^5 =(-raiz3)^4cdot(-raiz3) =9cdot(-raiz3)=-9raiz3
Daí
a6 = a1cdot(-9raiz3)=-9raiz3
implica a1=1.

Passo 4

Com a1=1 e q=-raiz3, obtemos
a2 = a1 q = -raiz3, a7 = a1 q^6 =(-raiz3)^6 =27
Logo
a2cdot a7 = (-raiz3)cdot27 = -27raiz3

Resposta

(a) -27raiz3

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