(Fuvest-99) Seja (an) uma progressão geométrica de primeiro terno a_{1}=1 e razão q^{2}, onde q é um número inteiro maior que 1. Seja ( b_{n} ) uma progressão geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a_{11}=b_{17}. Neste caso:
a) Determine o primeiro termo b_{2} em função de q.
b) Existe algum valor de n para o qual a_{n} =\mathrm{b}_{\mathrm{n}} ?
c) Que condição n e m devem satisfazer para que a_{n}=b_{m} ?

Passo 1

O enunciado define duas progressões geométricas:
(a_n) com a_1=1 e razão q^2, ou seja
a_n = 1\cdot(q^2)^{\,n-1} = q^{2(n-1)}.
(b_n) com razão q e primeiro termo b_1 desconhecido, de modo que
b_n = b_1\,q^{\,n-1}.
Como se sabe que a_{11}=b_{17}, usaremos essa igualdade para achar b_1 e daí responder aos itens.

Passo 2

Calcular b_1 a partir de a_{11}=b_{17}:
a_{11} = q^{2\cdot(11-1)} = q^{20}, \quad b_{17} = b_1\,q^{17-1} = b_1\,q^{16}.
Da igualdade q^{20}=b_1\,q^{16} segue
b_1 = q^{20-16} = q^4.

Passo 3

(a) Determinar b_2. Como
b_2 = b_1\,q = q^4\cdot q = q^5,
temos a resposta do item (a).

Passo 4

(b) Verificar se existe n tal que a_n=b_n.
Igualando
q^{2(n-1)} = b_1\,q^{\,n-1} = q^4\,q^{\,n-1} = q^{n+3},
comparamos expoentes:
2(n-1)=n+3 \;\Longrightarrow\;2n-2=n+3\;\Longrightarrow\;n=5.
Logo existe, e é n=5.

Passo 5

(c) Condição geral para a_n=b_m.
Queremos
q^{2(n-1)} = b_1\,q^{\,m-1} = q^4\,q^{\,m-1} = q^{m+3}.
Igualando expoentes dá
2(n-1) = m+3 \;\Longrightarrow\; 2n-2 = m+3 \;\Longrightarrow\; m = 2n - 5.

Resposta

(a) b_2 = q^5
(b) Sim, para n=5.
(c) Para a_n = b_m deve valer m = 2n - 5.

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