(Fuvest-SP) Sejam a1, a2, a3, a4, a5 números estritamente positivos tais que log 2 a1, log 2 a2, log 2 a3, log 2 a4, log 2 a5 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 12. Se a1=4, então o valor da soma a1+a2+a3+a4+a5 é igual a:
a) 24+raiz2
b) 24+2 raiz2
c) 24+12 raiz2
d) 28+12 raiz2
e) 28+18 raiz2

Passo 1

O enunciado diz que os números a1,a2,a3,a4,a5 são todos estritamente positivos e que log2a1,log2a2,log2a3,log2a4,log2a5 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética (PA) de razão tfrac12. Como a1=4, queremos calcular a soma
a1+a2+a3+a4+a5
Para resolver, vamos usar a relação entre PA nos logaritmos e progressão geométrica nos próprios termos.

Passo 2

Na PA dos logaritmos temos
log2a1=2,razão r=tfrac12, ã
logo o termo geral é
log2ak=2+(k-1),tfrac12

Passo 3

Vamos listar log2ak e depois obter ak=2^log2ak:
log2a1&=2Longrightarrow a1=2^2=4, log2a2&=2+tfrac12= tfrac52Longrightarrow a2=2^5/2=4raiz2, log2a3&=2+2cdottfrac12=3Longrightarrow a3=2^3=8, log2a4&=2+3cdottfrac12=tfrac72Longrightarrow a4=2^7/2=8raiz2, log2a5&=2+4cdottfrac12=4Longrightarrow a5=2^4=16

Passo 4

Agora somamos os cinco termos:
a1+a2+a3+a4+a5 =4 + 4raiz2 + 8 + 8raiz2 +16 =(4+8+16) + (4raiz2+8raiz2) =28 + 12raiz2

Passo 5

Comparando com as alternativas, vemos que corresponde à letra (d).

Resposta

(d) 28 + 12raiz2

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