(Fuvest-99) Num triângulo retângulo ABC , seja D um ponto da hipotenusa AC tal que os ângulos DAB e ABD tenham a mesma medida.
Então o valor de \mathrm{AD} / \mathrm{DC} é:
a) \sqrt{2}
b) 1 / \sqrt{2}
c) 2
d) 1 / 2
e) 1

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo ABC com Ângulo reto em B, de modo que AC é a hipotenusa. Sobre AC está um ponto D tal que
\angle DAB = \angle ABD.
Queremos determinar a razão \mathrm{AD}/\mathrm{DC}. Para isso usaremos a propriedade de que, num triângulo, se dois ângulos têm a mesma medida, os lados opostos a eles também são iguais (triângulo isósceles).

Passo 2

Como \angle DAB = \angle ABD no triângulo ABD, concluímos que
AD = BD.
Para encontrar a posição de D em AC, introduzimos coordenadas: coloque
B=(0,0),\quad A=(m,0),\quad C=(0,n),
com m,n>0. Em seguida, parametrize D ao longo de AC por
D = (\,m(1-t),\,n\,t\,),\quad 0\le t\le1.
Nesse caso
AD = t\sqrt{m^2+n^2} \quad\text{e}\quad BD = \sqrt{m^2(1-t)^2 + n^2 t^2}.
Impondo AD = BD, temos
\bigl(t\sqrt{m^2+n^2}\bigr)^2 = m^2(1-t)^2 + n^2 t^2 \;\Longrightarrow\; t^2(m^2+n^2) = m^2(1-2t + t^2) + n^2 t^2.
Isso simplifica para
m^2 t^2 + n^2 t^2 = m^2 - 2m^2 t + m^2 t^2 + n^2 t^2 \;\Longrightarrow\; 0 = m^2 - 2m^2 t \;\Longrightarrow\; t = \tfrac12.

Passo 3

O valor t=\tfrac12 significa que D é o ponto médio de AC. Logo
AD = DC.
Daí segue imediatamente que
\frac{AD}{DC} = 1.

Resposta

1

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