(Fuvest-SP) Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine:
a) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca.
b) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendose que as três bolas retiradas não são da mesma cor.
a) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca.
b) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendose que as três bolas retiradas não são da mesma cor.
Passo 1
O enunciado descreve um experimento de retirada de três bolas sem reposição de uma urna com cinco bolas brancas e três bolas pretas. O conteúdo é de probabilidade clássica usando combinatória (distribuição hipergeométrica). Para resolver vamos contar o número total de maneiras de escolher 3 bolas de 8, depois contar as formas favoráveis a cada evento e dividir.
Passo 2
Calculamos o número total de maneiras de retirar 3 bolas de 8, sem importar a ordem. Isso é dado por
Passo 3
Para o item (a) queremos exatamente 2 bolas pretas e 1 bola branca. O número de maneiras de escolher 2 pretas entre 3 é
e de escolher 1 branca entre 5 é
. Logo o total de casos favoráveis é
Portanto
Passo 4
Para o item (b) queremos a probabilidade de 2 pretas e 1 branca sabendo que as três bolas não são todas da mesma cor. Primeiro contamos quantas saídas resultam em todas da mesma cor: são
todas brancas e
todas pretas, totalizando 11 casos. Então o número de casos em que não há monotonia de cor é
Passo 5
Agora a probabilidade condicional é
Como “2 pretas e 1 branca” já está contido em “não todas mesmas cor”, temos
Resposta
(a)
(b)
(b)