(UF-PE) Um grupo de estudantes participará de uma excursão. Se participarem 60 estudantes, o preço individual da excursão será de R$200,00 e, para cada estudante que desistir, o preço individual dos participantes aumentará R$ 5,00; por exemplo, se dois estudantes desistirem, o preço da excursão será de R$ 210,00. Qual o valor máximo que o organizador da excursão poderá arrecadar com os valores pagos pelos participantes da excursão?
a) 12400,00$
b) 12500,00$
c) 12600,00$
d) 12650,00$
e) 12700,00$

Passo 1

O enunciado diz que inicialmente são esperados 60 estudantes, com preço individual de R$ 200,00. Para cada estudante que desistir, o preço por participante aumenta em R$ 5,00. Queremos maximizar a receita total arrecadada. O conteúdo aqui é otimização de função quadrática.

Passo 2

Seja x o número de desistências.
O número de participantes passa a ser 60 - x.
O preço por participante é
p(x) = 200 + 5x
Logo, a receita total é
R(x) = (60 - x),(200 + 5x)

Passo 3

Expandindo R(x) temos
R(x) = 60cdot 200 + 60cdot5x - xcdot200 -5x^2 = 12000 + 300x -200x -5x^2 = 12000 +100x -5x^2
Trata-se de uma parábola voltada para baixo ( a=-5<0).

Passo 4

A abscissa do vértice da parábola R(x)= -5x^2 +100x +12000 é
xv = -b2a = -1002cdot(-5) = 10
Portanto, a receita é máxima quando ocorrem 10 desistências.

Passo 5

Calculando o valor máximo:
R(10) = (60-10)l(200+5cdot10r) = 50cdot250 = 12500

Resposta

b) R$ 12500,00

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