HSMC - Calcule o valor de
(1-37) times(1-38) times(1-39) times cdots times(1-320)
a) 10171
b) 13
c) 1720
d) 1821
e) 157

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto
(1-37)times(1-38)timescdotstimes(1-320)
O conteúdo é fatoração de cada termo em forma de fração e telescopagem de produtos, usando no final manipulação de fatorias.

Passo 2

Observe que cada fator pode ser reescrito assim:
1 - 3k = k-3k
Logo o produto vira
prodk=7^20k-3k =47times58times69timescdotstimes1720

Passo 3

Agrupando numerador e denominador, temos
4cdot5cdot6cdots177cdot8cdot9cdots20
O numerador é 4cdot5cdot6cdots17=dfrac17!3! e o denominador é 7cdot8cdot9cdots20=dfrac20!6!. Então
prodk=7^20k-3k =17!3!20!6! =17!3!times6!20!

Passo 4

Reescrevendo 20!=20times19times18times17!, fica
17!3!times6!20! =6!3!times17!20times19times18times17! =6!3!times120cdot19cdot18
Como 6!=720 e 3!=6, temos tfrac6!3!=120. Logo
prodk=7^20k-3k =12020cdot19cdot18 =1206840 =157

Resposta

e) 157

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