(Hungria-1939) Determine a mais alta potência de 2 que divide 2^ n !.

Passo 1

O enunciado pede a maior potência de 2 que divide (2^n)!. O conteúdo envolvido é o cálculo do expoente de um primo em um fatorial, que faremos usando a fórmula de Legendre.

Passo 2

A fórmula de Legendre diz que, para um primo p e um inteiro N,
vp(N!) ;=;sumk=1^inftylfloorNp^krfloor,
onde vp(N!) é o expoente de p em N!.

Passo 3

Aqui temos p=2 e N=2^n. Para cada k<= n,
lfloor2^n2^krfloor ;=;2^,n-k,
e para k>n o quociente é menor que 1, logo a contribuição é zero.

Passo 4

Portanto
v2l((2^n)!r) =sumk=1^n2^,n-k =2^n-1+2^n-2+cdots+2^0 =2^n-1

Resposta

A maior potência de 2 que divide (2^n)! é
2^,2^n-1

Exercícios de Livros Relacionados