(OBM Jr.-94) Seja [A] a parte inteira do número A, ou seja, o maior inteiro que é menor ou igual a A.
Por exemplo,
. Seja
a parte fracionária do número A , ou seja,
. Por exemplo,
,
.
a) Para
, faça um gráfico da função
{x}.
b) Dê um exemplo de um número real positivo x tal que
.
Por exemplo,
a) Para
b) Dê um exemplo de um número real positivo x tal que
Passo 1
O enunciado define a parte inteira de
como
(o maior inteiro
) e a parte fracionária como
. Pede (a) o gráfico de
em
e (b) um exemplo de
tal que
Vamos usar a definição de parte fracionária para expressar
em cada intervalo unitário e depois resolver a equação
para um caso simples.
Passo 2
Para desenhar o gráfico de
Isso gera um “dente de serra” que em cada unidade cresce linearmente de , e em cada inteiro faz um salto de
de volta a
.
Passo 3
Para (b), escolhemos
, de modo que
. Escreva
com
e
. A condição vira
Tomando
, temos
Logo um exemplo é
pois então
e
somam
.
Resposta
a) O gráfico de
com salto de em cada inteiro
.
b) Um exemplo é
pois aí
.