(OBM Jr.-94) Seja [A] a parte inteira do número A, ou seja, o maior inteiro que é menor ou igual a A.
Por exemplo, [2]=2,[5,73]=5,[pi]=3. Seja A a parte fracionária do número A , ou seja,
A=A-[A]. Por exemplo, 4,586=0,586, 3=0.
a) Para 0<x<4, faça um gráfico da função f(x)= {x}.
b) Dê um exemplo de um número real positivo x tal que x+1x=1.

Passo 1

O enunciado define a parte inteira de A como [A] (o maior inteiro <= A) e a parte fracionária como A=A-[A]. Pede (a) o gráfico de f(x)=x em 0<x<4 e (b) um exemplo de x>0 tal que
x+ltfrac1xr=1
Vamos usar a definição de parte fracionária para expressar f(x) em cada intervalo unitário e depois resolver a equação x+1/x=1 para um caso simples.

Passo 2

Para desenhar o gráfico de
Isso gera um “dente de serra” que em cada unidade cresce linearmente de , e em cada inteiro faz um salto de de volta a .

Passo 3

Para (b), escolhemos x>1, de modo que 1/x=1/x. Escreva x=m+de<a com m=[x]>=1 e 0<=de<a<1. A condição vira
de<a + 1m+de<a=1
Tomando m=2, temos
de<a+12+de<a=1 ;Longrightarrow; de<a(2+de<a)+1=2+de<a ;Longrightarrow; de<a^2+de<a-1=0 ;Longrightarrow; de<a=-1+raiz52
Logo um exemplo é
x=2+raiz5-12=3+raiz52,
pois então x=(raiz5-1)/2 e 1/x=1/x somam 1.

Resposta

a) O gráfico de
com salto de em cada inteiro .
b) Um exemplo é
pois aí .

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