(Argentina-97) Achar todos os números reais x que verificam [19 x+97]=19+97 x.

Passo 1

O enunciado pede todos os xinR tais que
llfloor 19x + 97rrfloor ;=; 19 + 97x
Aqui vamos usar a definição de piso: se lfloor yrfloor = k, então
k <= y < k+1,
com kinZ.

Passo 2

Denotemos
k = llfloor 19x + 97rrfloor
Então da equação temos
k = 19 + 97x Longrightarrow x = k - 1997

Passo 3

Como k = lfloor 19x + 97rfloor, vale
k <= 19x + 97 < k+1
Agora substituímos x = (k-19)/97 em 19x+97:
19x + 97 = 19k-1997 + 97 = 19k - 361 + 97^297 = 19k + 904897
Logo as desigualdades ficam
k <= 19k + 904897 < k+1

Passo 4

Multiplicando as duas partes por 97, obtemos
97k <= 19k + 9048 < 97(k+1)
Isso é equivalente a
78k <= 9048 e 19k + 9048 < 97k + 97,
ou seja
k <= 904878 = 116 e 78k > 9048 - 97 = 8951 ;Longrightarrow; k > 895178approx114,75
Como k é inteiro, resta
115 <= k <= 116

Passo 5

Para cada valor de k calculamos x = (k - 19)/97:
  • Se k=115, então x = tfrac115 - 1997 = tfrac9697
  • Se k=116, então x = tfrac116 - 1997 = 1
    Verificam-se ambos no original:
    lfloor19cdottfrac9697+97rfloor=115 e 19+97cdottfrac9697=115,
    lfloor19cdot1+97rfloor=116 e 19+97cdot1=116.

Resposta

As soluções são
x = 9697 e x = 1

Exercícios de Livros Relacionados