(Canadá-81) Prove que não existem soluções reais para:
lfloor xrfloor+lfloor 2 xrfloor+lfloor 4 xrfloor+lfloor 8 xrfloor+lfloor 16 xrfloor+lfloor 32 xrfloor=12345.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não há xinR satisfazendo
lfloor xrfloor+lfloor 2xrfloor+lfloor 4xrfloor+lfloor 8xrfloor+lfloor 16xrfloor+lfloor 32xrfloor=12345
O conteúdo usado será a propriedade de que, se escrevemos x=m+theta com m=lfloor xrfloor e thetain[0,1), então
lfloor 2^k xrfloor=2^k m+lfloor2^kthetarfloor

Passo 2

Escrevendo x=m+theta com minZ e thetain[0,1), definimos para i=0,1,2,3,4,5:
ai=lfloor 2^ithetarfloor
Note que a0=lfloorthetarfloor=0 e, em geral,
lfloor 2^i xrfloor = 2^i m + ai
Somando para i=0 até 5 obtemos
sumi=0^5 lfloor2^i xrfloor = sumi=0^5 l(2^i m + air) = l(sumi=0^5 2^ir)m ;+;sumi=0^5 ai = 63,m + sumi=0^5 ai

Passo 3

Agora, cada ai=lfloor2^ithetarfloor satisfaz
0 <= ai <= 2^i -1
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sumi=0^5 ai <= sumi=0^5 (2^i-1) = (1-1)+(2-1)+(4-1)+(8-1)+(16-1)+(32-1) =0+1+3+7+15+31=57

Passo 4

Para ter soma igual a 12345 precisamos de
63,m + sumi=0^5 ai =12345,
com 0<= sum ai<=57.
Isto implica que 63m deve ser bem próximo de 12345. Note que
63times195 =12285, 63times196 =12348
  • Se m=195 então sum ai =12345-63cdot195=12345-12285=60, mas isso contradiz sum ai<=57.
  • Se m=196 então sum ai =12345-63cdot196=12345-12348=-3, impossível pois soma de pisos não pode ser negativa.
    Não há nenhum outro inteiro m que aproxime 63m de 12345 sem violar 0<=sum ai<=57.

Resposta

Não existem soluções reais para a equação dada.

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