(IBMEC-2004) Considere f(x)=x^2-m x+32 m-2.
a) Determine os valores de m para os quais os gráficos de f(x) e |f(x)| sejam coincidentes.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2-m x+32m-2
e pede os valores de m tais que os gráficos de y=f(x) e de y=lvert f(x)rvert sejam coincidentes.
Conteúdo: análise de quando uma função quadrática fica sempre não negativa (para que lvert f(x)rvert=f(x)).

Passo 2

Para que o gráfico de y=f(x) e de y=lvert f(x)rvert coincidam em todos os pontos, precisamos ter
f(x)=lvert f(x)rvertforall x,
ou seja
f(x)>= 0forall x
Não faz sentido exigir f(x)<=0 porque aí lvert f(x)rvert=-f(x) e o gráfico seria y=-f(x), distinto de y=f(x), salvo no caso trivial fequiv0, impossível aqui pois o coeficiente de x^2 é 1neq0.

Passo 3

Como f é uma parábola com coeficiente principal a=1>0, a condição f(x)>=0 para todo x equivale a dizer que o discriminante de f é não positivo:
De<a <= 0
Aqui
De<a = b^2 -4ac
com a=1, b=-m e c=tfrac32m-2.

Passo 4

Calculando o discriminante:
De<a =(-m)^2 -4cdot1cdotl(tfrac32m-2r) =m^2 -6m +8
Impor De<a<=0
m^2 -6m +8 <= 0 Longrightarrow 2 <= m <= 4

Resposta

min[2,4]

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