(IME-20) Considere os conjuntos
e
, 9, 10}. Seja F o conjunto de funções cujo domínio é A e cujo contradomínio é B. Escolhendo-se ao acaso uma função
de
, a probabilidade de
ser estritamente crescente ou ser injetora é:
a) 0,00252
b) 0,00462
c) 0,25200
d) 0,30240
e) 0,55440
a) 0,00252
b) 0,00462
c) 0,25200
d) 0,30240
e) 0,55440
Passo 1
Resumindo, temos o conjunto
com
e o conjunto
com
. O espaço
é o conjunto de todas as funções de
em
. Precisamos calcular a probabilidade de escolher ao acaso
tal que
seja estritamente crescente ou injetora. Usaremos contagem de funções (combinatória) e depois dividiremos pelo total para obter a probabilidade.
Passo 2
Calculemos primeiro o número total de funções de
em
. Para cada um dos 5 elementos de
, há 10 escolhas em
. Logo,
Passo 3
Agora, o número de funções injetoras de
em
é o número de permutações de 10 objetos tomados 5 a 5:
Passo 4
O número de funções estritamente crescentes de
em
é o número de maneiras de escolher 5 valores de
e atribuí-los em ordem crescente, ou seja
Passo 5
Observamos que toda função estritamente crescente é injetora, logo o evento “crescente ou injetora” coincide com “injetora”. Assim, o número de funções favoráveis é
e a probabilidade é
Resposta
(d) 0,30240