(IME-20) Considere os conjuntos A=\{0,1,2,3,4\} e B=\{1,2,3,4,5,6,7,8, 9, 10}. Seja F o conjunto de funções cujo domínio é A e cujo contradomínio é B. Escolhendo-se ao acaso uma função f de F, a probabilidade de f ser estritamente crescente ou ser injetora é:
a) 0,00252
b) 0,00462
c) 0,25200
d) 0,30240
e) 0,55440

Passo 1

Resumindo, temos o conjunto A=\{0,1,2,3,4\} com \lvert A\rvert=5 e o conjunto B=\{1,2,\dots,10\} com \lvert B\rvert=10. O espaço F é o conjunto de todas as funções de A em B. Precisamos calcular a probabilidade de escolher ao acaso f\in F tal que f seja estritamente crescente ou injetora. Usaremos contagem de funções (combinatória) e depois dividiremos pelo total para obter a probabilidade.

Passo 2

Calculemos primeiro o número total de funções de A em B. Para cada um dos 5 elementos de A, há 10 escolhas em B. Logo,
\lvert F\rvert = 10^5 = 100000.

Passo 3

Agora, o número de funções injetoras de A em B é o número de permutações de 10 objetos tomados 5 a 5:
\lvert \{\text{injetoras}\}\rvert = {}_{10}P_{5} = \frac{10!}{(10-5)!} = 10\times9\times8\times7\times6 = 30240.

Passo 4

O número de funções estritamente crescentes de A em B é o número de maneiras de escolher 5 valores de B e atribuí-los em ordem crescente, ou seja
\lvert \{\text{cresc. estritas}\}\rvert = \binom{10}{5} = 252.

Passo 5

Observamos que toda função estritamente crescente é injetora, logo o evento “crescente ou injetora” coincide com “injetora”. Assim, o número de funções favoráveis é 30240 e a probabilidade é
P = \frac{30240}{100000} = 0,30240.

Resposta

(d) 0,30240

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