(ITA-16) Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada com apenas uma destas letras: N, S, L e O. Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e devolve a bola à caixa. Se essa letra for N , ele dá um passo na direção Norte; se S , em direção Sul, se L, na direção Leste e se O, na direção Oeste.
Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo?

Passo 1

O enunciado descreve um passeio aleatório em um plano quadrado onde, a cada retirada de bola, o menino dá um passo em uma das quatro direções \,N, \,S, \,L ou \,O, todas com probabilidade igual de \tfrac{1}{4}. Queremos a probabilidade de, após seis passos independentes (com reposição), ele retornar à origem.

Passo 2

Para voltar à origem em um passeio bidimensional, o número de passos para Norte deve igualar o de Sul, e o número de passos para Leste deve igualar o de Oeste. Denotemos por
n_N,\;n_S,\;n_L,\;n_O
as quantidades desses passos. As condições são
n_N+n_S+n_L+n_O = 6,\quad n_N = n_S,\quad n_L = n_O.

Passo 3

Seja a = n_N = n_S e b = n_L = n_O. Então
2a + 2b = 6 \quad\Longrightarrow\quad a + b = 3,
com a,b\ge0 inteiros. As possibilidades são:
(a,b) = (0,3),\,(1,2),\,(2,1),\,(3,0).

Passo 4

Para um par fixo (a,b), o número de sequências de seis passos que realizam exatamente a vezes Norte, a vezes Sul, b vezes Leste e b vezes Oeste é dado pelo multinomial
\frac{6!}{a!\,a!\,b!\,b!}.

Passo 5

Somando sobre as quatro possibilidades de (a,b):
\begin{aligned} \frac{6!}{0!\,0!\,3!\,3!} &= 20,\\\ \frac{6!}{1!\,1!\,2!\,2!} &= 180,\\\ \frac{6!}{2!\,2!\,1!\,1!} &= 180,\\\ \frac{6!}{3!\,3!\,0!\,0!} &= 20, \end{aligned}
totalizando 20 + 180 + 180 + 20 = 400 sequências que retornam à origem.

Passo 6

Cada sequência de seis passos ocorre com probabilidade \bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{6}. Logo, a probabilidade pedida é
\frac{400}{4^{6}} = \frac{400}{4096} = \frac{25}{256}.

Resposta

\displaystyle \frac{25}{256}

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