(ITA-16) Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada com apenas uma destas letras: N, S, L e O. Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e devolve a bola à caixa. Se essa letra for N , ele dá um passo na direção Norte; se S , em direção Sul, se L, na direção Leste e se O, na direção Oeste.
Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo?
Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo?
Passo 1
O enunciado descreve um passeio aleatório em um plano quadrado onde, a cada retirada de bola, o menino dá um passo em uma das quatro direções
,
,
ou
, todas com probabilidade igual de
. Queremos a probabilidade de, após seis passos independentes (com reposição), ele retornar à origem.
Passo 2
Para voltar à origem em um passeio bidimensional, o número de passos para Norte deve igualar o de Sul, e o número de passos para Leste deve igualar o de Oeste. Denotemos por
as quantidades desses passos. As condições são
Passo 3
Seja
e
. Então
com
inteiros. As possibilidades são:
Passo 4
Para um par fixo
, o número de sequências de seis passos que realizam exatamente
vezes Norte,
vezes Sul,
vezes Leste e
vezes Oeste é dado pelo multinomial
Passo 5
Somando sobre as quatro possibilidades de
:
totalizando
sequências que retornam à origem.
Passo 6
Cada sequência de seis passos ocorre com probabilidade
. Logo, a probabilidade pedida é