(IME-10) Considere o determinante de uma matriz de orden in definido por:
\Delta_{11}=\left|\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\\\ -1 & 3 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 3 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 3 & \ldots & 0 & 0 \\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 3 \end{array}\right|
Sabendo que \Delta_{1}=1, o valor de \Delta_{10} é
A) 59049
B) 48725
C) 29524
D) 9841
E) 364

Passo 1

O problema dá a matriz A_n de ordem n cuja primeira linha é toda de 1 e, para i\ge2, temos
a_{i,i}=3,\quad a_{i,i-1}=-1,\quad\text{e todos os outros }a_{i,j}=0.
Denotamos \Delta_n=\det(A_n) e sabemos que \Delta_1=1. Queremos \Delta_{10}. Vamos usar expansão por cofatores na primeira coluna para obter uma relação de recorrência em \Delta_n.

Passo 2

Expandindo \Delta_n pela primeira coluna, só aparecem dois elementos não nulos:
\Delta_n =\underbrace{(-1)^{1+1}\cdot a_{1,1}\cdot\det(M_{11})}_{=1\cdot\det(M_{11})} +\underbrace{(-1)^{2+1}\cdot a_{2,1}\cdot\det(M_{21})}_{=-(-1)\det(M_{21})}
onde
  1. M_{11} é o menor que elimina linha 1 e coluna 1. Esse M_{11} é triangular inferior com diagonal toda 3, logo
\det(M_{11})=3^{\,n-1}.
  1. M_{21} elimina linha 2 e coluna 1. Observa-se que M_{21} tem exatamente a mesma estrutura de A_{n-1}, ou seja,
\det(M_{21})=\Delta_{n-1}.
Assim
\Delta_n=3^{\,n-1}+\Delta_{n-1}.

Passo 3

Agora resolvemos a recorrência
\Delta_n=\Delta_{n-1}+3^{\,n-1},\quad \Delta_1=1.
Isso dá
\Delta_n=\sum_{k=0}^{n-1}3^k =\frac{3^n-1}{3-1} =\frac{3^n-1}{2}.
Para n=10 vem
\Delta_{10}=\frac{3^{10}-1}{2} =\frac{59049-1}{2} =\frac{59048}{2} =29524.

Resposta

C) 29524
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