(ITA-71) Qual o resto da divisào por 3 do determinante:
\left|\begin{array}{cccc}4 & 1 & 3 & -6 \\\ (3-4) & (6-1) & (-3-5) & (9+6) \\\\ 5 & 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 1 & 2 & 5\end{array}\right|
a) 0
b) 3
c) 7
d) 1
e) N.d.r.a.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão por 3 do determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 3 & -6\\\\ 3-4 & 6-1 & -3-5 & 9+6\\\\ 5 & 1 & 2 & 3\\\\ 4 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de determinante com simplificação de entradas e uso de aritmética modular para obter o resto em 3.

Passo 2

Primeiro simplificamos as operações dentro da segunda linha de A:
3-4=-1,\quad 6-1=5,\quad -3-5=-8,\quad 9+6=15.
Portanto
A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 3 & -6\\\\ -1 & 5 & -8 & 15\\\\ 5 & 1 & 2 & 3\\\\ 4 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como só precisamos do resto em 3, reduzimos cada entrada de A módulo 3:
A\equiv \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 2 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \pmod{3}.

Passo 4

Aplicamos operações de linha (válidas em módulo 3) para triangularizar:
R_2 \leftarrow R_2 - 2 \cdot R_1,
R_3 \leftarrow R_3 - 2 \cdot R_1,
R_4 \leftarrow R_4 - R_1,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 5

O determinante de A é igual ao produto dos pivôs, módulo 3, ou seja
\det(A)\equiv 1\cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 2 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \pmod{3}.
Calculando o 3\times3 interno,
\det=\;0\cdot(2\cdot2-0\cdot2)\;-\;1\cdot(2\cdot2-0\cdot0)\;+\;0= -4\equiv2\pmod{3}.
Logo
\det(A)\equiv2\pmod{3}.

Resposta

Nenhuma das alternativas (resto 2 não está listada), logo escolha a alternativa e.
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