(ITA-89) Sendo A, B, C matrizes reais
, considere as seguintes afirmações:
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Passo 1
O enunciado dá três matrizes reais
e pede para verificar quais das afirmações sobre multiplicação, adição e determinante valem sempre. O conteúdo é álgebra de matrizes (associatividade, comutatividade, propriedades do determinante).
Passo 2
A afirmação
é “
”. Esse é o teorema da associatividade da multiplicação de matrizes, que vale para qualquer tamanho compatível. Logo
é verdadeira.
Passo 3
A afirmação
diz “
”. Em geral matrizes não comutam. Por exemplo, para
temos
Logo
é falsa.
Passo 4
A afirmação
é “
”. A adição de matrizes é simplesmente soma termo a termo, e soma de números é comutativa. Portanto
é verdadeira.
Passo 5
A afirmação
é “
”. Esse é um dos principais teoremas sobre determinantes e vale para qualquer par de matrizes quadradas. Logo
é verdadeira.
Passo 6
A afirmação
é “
”. Em geral o determinante não é aditivo. Por exemplo, para
e
temos
mas
. Logo
é falsa.
Resposta
As afirmações verdadeiras são
,
e
.