(ITA-89) Sendo A, B, C matrizes reais n \times n, considere as seguintes afirmações:
  1. A(B C)=(A B) C
  2. A B=B A
  3. A+B=B+A
  4. \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)
  5. \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B)

Passo 1

O enunciado dá três matrizes reais n\times n e pede para verificar quais das afirmações sobre multiplicação, adição e determinante valem sempre. O conteúdo é álgebra de matrizes (associatividade, comutatividade, propriedades do determinante).

Passo 2

A afirmação 1 é “ A(BC)=(AB)C”. Esse é o teorema da associatividade da multiplicação de matrizes, que vale para qualquer tamanho compatível. Logo 1 é verdadeira.

Passo 3

A afirmação 2 diz “ AB=BA”. Em geral matrizes não comutam. Por exemplo, para
A=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},
temos
AB=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}=BA.
Logo 2 é falsa.

Passo 4

A afirmação 3 é “ A+B=B+A”. A adição de matrizes é simplesmente soma termo a termo, e soma de números é comutativa. Portanto 3 é verdadeira.

Passo 5

A afirmação 4 é “ \det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)”. Esse é um dos principais teoremas sobre determinantes e vale para qualquer par de matrizes quadradas. Logo 4 é verdadeira.

Passo 6

A afirmação 5 é “ \det(A+B)=\det(A)+\det(B)”. Em geral o determinante não é aditivo. Por exemplo, para n=2 e
A=I_2,\quad B=I_2
temos \det(A+B)=\det(2I_2)=2^2=4 mas \det(A)+\det(B)=1+1=2. Logo 5 é falsa.

Resposta

As afirmações verdadeiras são 1, 3 e 4.
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