(IME-12) São dadas as matrizes quadradas inversiveis A, B e C, de ordem 3. Sabe-se que o determinante de C vale ( 4-\mathrm{x} ), onde x é um número real, o determinante da matriz inversa de B vale -1 / 3 e que \left(\mathrm{CA}^{\prime}\right)^{\prime}=\mathrm{P}^{-1} \mathrm{BP}. onde P é uma matriz inversivel. Sabendo que A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 3 & x & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right), determine os possiveis valores de x.
a) - 1 e 3
b) 1 \mathrm{e}-3
c) 2 c 3
d) 1 e 3
e) -2 \mathrm{e}-3
Passo 1
O enunciado dá três matrizes quadradas invertíveis de ordem 3, A, B e C, com \det\text{(C)}=4-x e \det(B^{-1})=-\tfrac{1}{3}. Além disso, sabemos que
(CA')' = P^{-1}BP
onde A' é a transposta de A e P é invertível. Precisamos usar propriedades de determinante, transposta e similaridade de matrizes para encontrar os valores de x.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a propriedade (MN)'=N'M' à expressão (CA')'. Assim:
(CA')' = (A')'\,C' = A\,C'
ou seja, A\,C' é semelhante a B. Como matrizes semelhantes têm mesmos determinantes, vale
\det(B) = \det\bigl(A\,C'\bigr).
Passo 3
Usamos que \det(C')=\det\text{(C)} e que \det(MN)=\det(M)\det(N). Logo,
\det(B) = \det(A)\,\det(C').
Substituindo \det(C')=\det\text{(C)} obtemos
\det(B) = \det(A)\,\det\text{(C)}.
Além disso, de \det(B^{-1})=-\tfrac{1}{3} segue \det(B)=-3.