(IME-12) São dadas as matrizes quadradas inversiveis A, B e C, de ordem 3. Sabe-se que o determinante de C vale ( 4-\mathrm{x} ), onde x é um número real, o determinante da matriz inversa de B vale -1 / 3 e que \left(\mathrm{CA}^{\prime}\right)^{\prime}=\mathrm{P}^{-1} \mathrm{BP}. onde P é uma matriz inversivel. Sabendo que A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 3 & x & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right), determine os possiveis valores de x.
a) - 1 e 3
b) 1 \mathrm{e}-3
c) 2 c 3
d) 1 e 3
e) -2 \mathrm{e}-3

Passo 1

O enunciado dá três matrizes quadradas invertíveis de ordem 3, A, B e C, com
\det\text{(C)}=4-x e \det(B^{-1})=-\tfrac{1}{3}. Além disso, sabemos que
(CA')' = P^{-1}BP
onde A' é a transposta de A e P é invertível. Precisamos usar propriedades de determinante, transposta e similaridade de matrizes para encontrar os valores de x.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a propriedade (MN)'=N'M' à expressão (CA')'. Assim:
(CA')' = (A')'\,C' = A\,C'
ou seja, A\,C' é semelhante a B. Como matrizes semelhantes têm mesmos determinantes, vale
\det(B) = \det\bigl(A\,C'\bigr).

Passo 3

Usamos que \det(C')=\det\text{(C)} e que \det(MN)=\det(M)\det(N). Logo,
\det(B) = \det(A)\,\det(C').
Substituindo \det(C')=\det\text{(C)} obtemos
\det(B) = \det(A)\,\det\text{(C)}.
Além disso, de \det(B^{-1})=-\tfrac{1}{3} segue \det(B)=-3.

Passo 4

Agora calculamos \det(A) para
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\[6pt] 3 & x & 0 \\[3pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(A) = 0\cdot(\cdots) - 0\cdot(\cdots) + 1\cdot \begin{vmatrix}3 & x\\[3pt]1 & 0\end{vmatrix} = 1\cdot(3\cdot0 - x\cdot1) = -x.]

Passo 5

Substituindo \det(A)=-x, \det\text{(C)}=4-x e \det(B)=-3 na relação do passo 3:
(-x)\,(4-x) = -3.
Distribuindo e reorganizando:
-x(4-x) = -3 \quad\Longrightarrow\quad -4x + x^2 +3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 -4x +3 = 0.

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
x^2 -4x +3 = (x-1)(x-3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 \quad\text{ou}\quad x = 3.
Ambos mantêm \det\text{(C)}=4-x\neq0, garantindo C invertível.

Resposta

d) 1 e 3
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