(IME-07) Considere as matrizes \mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4}\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right], c seja P uma matriz inversivel tal que B=P^{-1} A P. Sendo n um número natural, calcule o determinante da matriz A^{n}.
Passo 1
O enunciado fornece duas matrizes quadradas de ordem 2
e diz que existe uma matriz invertível P tal que B=P^{-1}AP. Queremos calcular \det(A^n) para n\in\mathbb{N}. Precisaremos usar propriedades de determinante: similaridade e potência de matrizes.]
Passo 2
Recordamos que matrizes similares têm o mesmo determinante, isto é,
\det(A)=\det(B).
Passo 3
Calculamos diretamente \det(B):
\det(B)=1\cdot\tfrac{1}{2}-0\cdot0=\tfrac{1}{2}.
Logo \det(A)=\tfrac{1}{2}.
Passo 4
Usamos a propriedade de determinantes quanto a potência de matriz:
\det(A^n)=(\det A)^n.
Substituindo \det(A)=\tfrac12 obtém-se
\det(A^n)=\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n}.
Resposta
\det(A^n)=\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 97