(IME-07) Considere as matrizes \mathrm{A}= \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4}\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right], c seja P uma matriz inversivel tal que B=P^{-1} A P. Sendo n um número natural, calcule o determinante da matriz A^{n}.

Passo 1

O enunciado fornece duas matrizes quadradas de ordem 2
A=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4}&\tfrac{1}{4}\\[6pt]\tfrac{1}{4}&\tfrac{3}{4}\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},
e diz que existe uma matriz invertível P tal que B=P^{-1}AP. Queremos calcular \det(A^n) para n\in\mathbb{N}. Precisaremos usar propriedades de determinante: similaridade e potência de matrizes.]

Passo 2

Recordamos que matrizes similares têm o mesmo determinante, isto é,
\det(A)=\det(B).

Passo 3

Calculamos diretamente \det(B):
\det(B)=1\cdot\tfrac{1}{2}-0\cdot0=\tfrac{1}{2}.
Logo
\det(A)=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Usamos a propriedade de determinantes quanto a potência de matriz:
\det(A^n)=(\det A)^n.
Substituindo \det(A)=\tfrac12 obtém-se
\det(A^n)=\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n}.

Resposta

\det(A^n)=\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}.
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