(ITA-85) Dadas as matrizes:
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} \mathrm{x}_{1} & 0 & -1 \\\\ 0 & \mathrm{x}_{1} & 1 \\\ \mathrm{x}_{3} & -\mathrm{x}_{2} & 1 \end{array}\right) \quad \mathrm{e} \quad \mathrm{~B}=\left(\begin{array}{ccc} \mathrm{x}_{1} & 0 & 0 \\\\ 0 & -\mathrm{x}_{2} & 0 \\\\ -\mathrm{x}_{3} & 0 & -\mathrm{x}_{3} \end{array}\right)
onde x_{1}, x_{2} e x_{3} sào raízes da seguinte equação em \mathrm{x}: \mathrm{x}^{3}+a \mathrm{x}^{2}+b \mathrm{x}-2=0. Se \operatorname{det} \mathrm{A}=4 x_{1} \mathrm{e} \operatorname{det}(A-B)=8, então podemos afirmar que:
a) \operatorname{del}(A-B)=5 e a=2
b) \operatorname{det} A=b e a=2
c) \operatorname{det} B=2 e b=5
d) \operatorname{det}(A-B)=a e b=\operatorname{det} A
😃 \operatorname{det} A=a / 2 e b=a / 2

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=\begin{pmatrix} x_{1} & 0 & -1\\\\ 0 & x_{1} & 1\\\ x_{3} & -x_{2} & 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} x_{1} & 0 & 0\\\\ 0 & -x_{2} & 0\\\\ -\,x_{3} & 0 & -\,x_{3} \end{pmatrix},
cujas entradas x_{1},x_{2},x_{3} são as raízes de
x^{3}+a x^{2}+b x-2=0.
Precisamos usar determinantes e as relações de Vieta para descobrir a e b e, finalmente, escolher a alternativa correta.

Passo 2

Calculemos \det A por expansão na primeira linha. Tem-se
\det A = x_{1}\,\det\begin{pmatrix}x_{1}&1\\\ -x_{2}&1\end{pmatrix} +(-1)\,\det\begin{pmatrix}0&x_{1}\x_{3}&-x_{2}\end{pmatrix} = x_{1}(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{3} = x_{1}(x_{1}+x_{2}+x_{3}).
Pelas fórmulas de Vieta, x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a, logo
\det A = -a\,x_{1}.
Como o enunciado dá \det A=4x_{1} e x_{1}\neq0, conclui-se
-a\,x_{1}=4x_{1} \quad\Rightarrow\quad a=-4.

Passo 3

Agora calculemos A-B:
A-B =\begin{pmatrix} 0&0&-1\\[6pt] 0&x_{1}+x_{2}&1\\[6pt] 2x_{3}&-x_{2}&1+x_{3} \end{pmatrix}.
Expandindo na primeira linha,
\det(A-B) =(-1)\det\begin{pmatrix} 0&x_{1}+x_{2}\\[3pt] 2x_{3}&-x_{2} \end{pmatrix} =2\,x_{3}(x_{1}+x_{2}).
Como x_{1}+x_{2}=(x_{1}+x_{2}+x_{3})-x_{3}=-a-x_{3}, obtemos
\det(A-B)=2x_{3}(-a - x_{3})=-2a\,x_{3}-2x_{3}^{2}.
O enunciado dá \det(A-B)=8 e já achamos a=-4, então
-2(-4)x_{3}-2x_{3}^{2}=8 \quad\Rightarrow\quad 8x_{3}-2x_{3}^{2}=8 \quad\Rightarrow\quad x_{3}^{2}-4x_{3}+4=0 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=2.]

Passo 4

Como x_{3}=2 é raiz do polinômio x^{3}-4x^{2}+b x-2=0, colocamos x=2:
2^{3}-4\cdot2^{2}+b\cdot2-2=0 \quad\Rightarrow\quad 8-16+2b-2=0 \quad\Rightarrow\quad 2b-10=0 \quad\Rightarrow\quad b=5.

Passo 5

Verifiquemos \det B. A matriz B é triangular “quase” – mas seu determinante é simplesmente o produto dos pivôs:
\det B = x_{1}\,(-x_{2})\,(-x_{3}) = x_{1}x_{2}x_{3}.
Pelas relações de Vieta, o produto das raízes de x^{3}+ax^{2}+bx-2=0 vale
x_{1}x_{2}x_{3} =(-1)^{3}(-2)=2.
Logo \det B=2 e, como já vimos, b=5.

Resposta

c) \det B=2 e b=5.
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