(ITA-88) Seja A uma matriz real que possui inversa. Seja n um número inteiro positivo e A" o produto de matriz A por
ela mesma n vezes. Das afirmaçōes a verdadeira é:
a) A^{n} possui inversa, qualquer que seja o valor de n
b) A^{n} possui inversa apenas quando n=1 ou \mathrm{n}=2.
c) A" possui inversa e seu determinante independe de n.
d) A" não possui inversa para valor algum de \mathrm{n}, \mathrm{n}>1.
e) Dependendo da matriz A, a matriz An poderá ou não ter inversa.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz real invertível e define A^n como o produto de A por ela mesma n vezes, com n inteiro positivo. Queremos descobrir para quais valores de n a matriz A^n também é invertível. Vamos usar propriedades de matrizes invertíveis e de determinantes.

Passo 2

Seja n\ge1. Como A é invertível, existe A^{-1} tal que A\,A^{-1}=I. O produto de matrizes invertíveis é invertível e a inversa do produto é o produto das inversas na ordem inversa. Assim,
A^n = \underbrace{A\cdot A\cdots A}_{n\text{ vezes}}
é invertível e
\bigl(A^n\bigr)^{-1} = \underbrace{A^{-1}\cdot A^{-1}\cdots A^{-1}}_{n\text{ vezes}} =(A^{-1})^n.

Passo 3

Além disso, \det(A^n)=\bigl(\det(A)\bigr)^n, que claramente depende de n. Assim as afirmações b), c), d) e e) são falsas, restando como correta:

Resposta

a) A^{n} possui inversa, qualquer que seja o valor de n.
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