1. (Unicamp-20) Sabendo que p é um número real, considere a matriz \mathrm{A}= A=\left[\begin{array}{ll}p & 2 \\\\ 0 & p\end{array}\right] e sua transposta A^{\top}. Se A+ \mathrm{A}^{\top} é singular (nāo invertível), então
    a) p=0
    b) |p|=1
    c) |p|=2
    d) p=3

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}p & 2 \\[4pt] 0 & p\end{pmatrix}
e sua transposta A^\top, e pede os valores de p para os quais A + A^\top é singular (não invertível). Para isso vamos usar que uma matriz 2\times2 é invertível se, e só se, seu determinante for diferente de zero.]

Passo 2

A transposta de A troca linhas por colunas, portanto
A^\top = \begin{pmatrix}p & 0 \\[4pt] 2 & p\end{pmatrix}.]

Passo 3

Somando as duas matrizes temos
A + A^\top = \begin{pmatrix}p & 2 \\[4pt] 0 & p\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}p & 0 \\[4pt] 2 & p\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2p & 2 \\[4pt] 2 & 2p\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para uma matriz \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}, o determinante é \det = ad - bc. Assim,
\det(A + A^\top) = (2p)(2p) - (2)(2) = 4p^2 - 4.]

Passo 5

Queremos que A + A^\top seja singular, ou seja
\det(A + A^\top) = 0 \;\Longrightarrow\; 4p^2 - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; p^2 = 1 \;\Longrightarrow\; |p| = 1.

Resposta

b) |p|=1
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados