(IME-07) Considere o sistema de equações dado por \left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=b_{1} \\\\ 2 x-y+3 z=b_{2} \\\\ 5 x-y+a z=b_{3}\end{array}\right..
Sendo b_{1}, b_{2} \in b_{3}, valores reais quaisquer, a condição para que o sistema possua soluçào única é:
a) \mathrm{a}=0
b) a \neq 2
c) a \neq 8
d) a \neq b_{1}+b_{2}-b_{3}
e) a=2 b_{1}-b_{2}+3 b_{3}
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema
\begin{cases} x + y + 2z = b_{1},\\\\ 2x - y + 3z = b_{2},\\\\ 5x - y + a\,z = b_{3}, \end{cases}
onde b_{1},b_{2},b_{3} são dados quaisquer. Precisamos encontrar a condição em a para que haja solução única. O conteúdo usado será a condição de invertibilidade da matriz de coeficientes via determinante.
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 5 & -1 & a \end{pmatrix}
e lembramos que o sistema tem solução única se, e somente se,
\det(A)\neq 0.
Passo 3
Calculamos \det(A) por expansão de Laplace na primeira linha: