(IME-07) Considere o sistema de equações dado por \left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=b_{1} \\\\ 2 x-y+3 z=b_{2} \\\\ 5 x-y+a z=b_{3}\end{array}\right..
Sendo b_{1}, b_{2} \in b_{3}, valores reais quaisquer, a condição para que o sistema possua soluçào única é:
a) \mathrm{a}=0
b) a \neq 2
c) a \neq 8
d) a \neq b_{1}+b_{2}-b_{3}
e) a=2 b_{1}-b_{2}+3 b_{3}

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
\begin{cases} x + y + 2z = b_{1},\\\\ 2x - y + 3z = b_{2},\\\\ 5x - y + a\,z = b_{3}, \end{cases}
onde b_{1},b_{2},b_{3} são dados quaisquer. Precisamos encontrar a condição em a para que haja solução única. O conteúdo usado será a condição de invertibilidade da matriz de coeficientes via determinante.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 5 & -1 & a \end{pmatrix}
e lembramos que o sistema tem solução única se, e somente se,
\det(A)\neq 0.

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão de Laplace na primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 3\\\ -1 & a\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 5 & a\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 5 & -1\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 3\\\ -1 & a\end{pmatrix} =(-1)\,a - 3(-1)=3 - a,
\det\!\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 5 & a\end{pmatrix} =2\,a - 3\cdot5=2a-15,
\det\!\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 5 & -1\end{pmatrix} =2(-1)-(-1)5=3.
Logo,
\det(A) = (3 - a) - (2a - 15) + 2\cdot 3 = 3 - a - 2a + 15 + 6 = 24 - 3a = 3\,(8 - a).

Passo 4

Para existir solução única é preciso \det(A)\neq 0, ou seja
3\,(8 - a)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad 8 - a\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad a\neq 8.

Resposta

c) a \neq 8

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