(ITA-03) Sejam A e P matrizes n \times n inversíveis e B=P^{-1} A P. Das afirmações: I-B^{I} é inversivel e \left(B^{T}\right)^{-1}=\left(B^{\prime}\right)^{T}.
II - Se A é simétrica, então B também o é.
III -\operatorname{det}(\mathrm{A}-\lambda \mathrm{I})=\operatorname{det}(\mathrm{B}-\lambda \mathrm{I}), \forall \lambda \in \bar{k}) é (são) verdadeira(s):
a) todas.
b) apenas 1 .
c) apenas I e II.
d) apenas I c III.
e) apenas II e III.

Passo 1

O enunciado trabalha com matrizes A e P invertíveis em \mathbb{K}^{n\times n} e define
B = P^{-1}AP.
O conteúdo usado envolve: propriedades de inversas e transpostas, simetria de matrizes e invariança do polinômio característico sob semelhança. Vamos verificar cada afirmação I, II e III.

Passo 2

Verificação de I: “ B^{-1} é invertível e \bigl(B^{T}\bigr)^{-1} = (B^{-1})^T.”
– Como B é invertível, sua inversa B^{-1} também é invertível (a inversa de uma inversa é a própria matriz).
– A relação clássica de transposta e inversa diz
(B^T)^{-1} \;=\; (B^{-1})^T.
Portanto I é verdadeira.

Passo 3

Verificação de II: “Se A é simétrica, então B também é simétrica.”
– Se A^T=A, então
B^T = (P^{-1}AP)^T = P^T\,A^T\,(P^{-1})^T = P^T\,A\,(P^T)^{-1}.
Para que B^T = B = P^{-1}AP seria necessário P^T = P^{-1} (i.e.\ P ortogonal), mas isso não se exige no enunciado. Em geral B não é simétrica. Logo II é falsa.

Passo 4

Verificação de III: “ \det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I) para todo \lambda.”
– Como B-\lambda I = P^{-1}(A-\lambda I)P, temos
\det(B-\lambda I) = \det(P^{-1})\,\det(A-\lambda I)\,\det(P) = \det(A-\lambda I),
pois \det(P^{-1})\det(P)=1. Portanto III é verdadeira.

Passo 5

Dessas, apenas I e III são verdadeiras.

Resposta

d) apenas I e III.

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