(ITA-03) Sejam A e P matrizes
inversíveis e
. Das afirmações:
é inversivel e
.
II - Se A é simétrica, então B também o é.
III
é (são) verdadeira(s):
a) todas.
b) apenas 1 .
c) apenas I e II.
d) apenas I c III.
e) apenas II e III.
II - Se A é simétrica, então B também o é.
III
a) todas.
b) apenas 1 .
c) apenas I e II.
d) apenas I c III.
e) apenas II e III.
Passo 1
O enunciado trabalha com matrizes
e
invertíveis em
e define
O conteúdo usado envolve: propriedades de inversas e transpostas, simetria de matrizes e invariança do polinômio característico sob semelhança. Vamos verificar cada afirmação I, II e III.
Passo 2
Verificação de I: “
é invertível e
.”
– Como é invertível, sua inversa
também é invertível (a inversa de uma inversa é a própria matriz).
– A relação clássica de transposta e inversa diz
– Como
– A relação clássica de transposta e inversa diz
Portanto I é verdadeira.
Passo 3
Verificação de II: “Se
é simétrica, então
também é simétrica.”
– Se , então
– Se
Para que
seria necessário
(i.e.\
ortogonal), mas isso não se exige no enunciado. Em geral
não é simétrica. Logo II é falsa.
Passo 4
Verificação de III: “
para todo
.”
– Como , temos
– Como
pois
. Portanto III é verdadeira.
Passo 5
Dessas, apenas I e III são verdadeiras.
Resposta
d) apenas I e III.