(Escola Naval-15) Analise o sistema a seguir: \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\\\ 4 x-2 m y+3 z=0 . \text { Para } o \\\\ 2 x+6 y-4 m z=0\end{array}\right. maior valor inteiro de m que torna o sistema acima possivel e indeterminado, pode-se afirmar que a expressão
\left|\operatorname{tg}\left(\frac{\pi \cdot m}{4}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi \cdot m}{3}\right)-1\right|
vale
a) 1 / 4
b) 9 / 4
c) -11 / 4
d) 7 / 4
e) -1 / 4

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
\begin{cases} x + y + z = 0,\\\\ 4x - 2m\,y + 3z = 0,\\\\ 2x + 6y - 4m\,z = 0, \end{cases}
e pede o maior valor inteiro de m que torna o sistema possível e indeterminado (isto é, com infinitas soluções). Como é homogêneo, ele é sempre possível, e terá solução não trivial exatamente quando o determinante do coeficiente for zero. Depois disso, devemos calcular
\left|\tan\!\bigl(\tfrac{\pi m}{4}\bigr)+\cos^2\!\bigl(\tfrac{2\pi m}{3}\bigr)-1\right|.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 4 & -2m & 3\\\\ 2 & 6 & -4m \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante
\det A =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-2m&3\\\ 6&-4m\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}4&3\\\ 2&-4m\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}4&-2m\\\ 2&6\end{pmatrix}.

Passo 3

Expandindo,
\det A =1\bigl((-2m)(-4m)-3\cdot6\bigr) -\bigl(4(-4m)-3\cdot2\bigr) +\bigl(4\cdot6-(-2m)\cdot2\bigr)
=8m^2-18 -(-16m-6)+(24+4m) =8m^2+20m+12.
Para ter infinitas soluções, impomos \det A=0, isto é
8m^2+20m+12=0 \;\Longrightarrow\; 2m^2+5m+3=0 \;\Longrightarrow\; m=\frac{-5\pm1}{4},
logo m=-1 ou m=-\tfrac32.

Passo 4

Desses, o único inteiro é m=-1, que é portanto o maior valor inteiro que torna o sistema indeterminado.

Passo 5

Agora substituímos m=-1 na expressão
E=\left|\tan\!\bigl(\tfrac{\pi m}{4}\bigr) +\cos^2\!\bigl(\tfrac{2\pi m}{3}\bigr)-1\right|.
Temos
\tan\!\bigl(\tfrac{\pi(-1)}{4}\bigr)=\tan\!\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-1,
\cos^2\!\bigl(\tfrac{2\pi(-1)}{3}\bigr) =\cos^2\!\bigl(-\tfrac{2\pi}{3}\bigr) =\cos^2\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) =\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2=\tfrac14.
Logo
E=\bigl|-1 + \tfrac14 -1\bigr| =\bigl|-2 + \tfrac14\bigr| =\bigl|-\tfrac{7}{4}\bigr| =\tfrac{7}{4}.

Resposta

d) \tfrac{7}{4}

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