(IME-15) Dada a matriz A, a soma do módulo dos valores de x que tornam o determinante da matriz A nulo é
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 x & 0 & 0 \\\ x^{2} & 1 & x-1 & 2 \\\\ 1 & x+4 & 0 & 0 \\\ x & -1 & 1 & x-2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de x que anulam o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2x & 0 & 0 \\[6pt] x^{2} & 1 & x-1 & 2 \\[6pt] 1 & x+4 & 0 & 0 \\[6pt] x & -1 & 1 & x-2 \end{pmatrix}
e, em seguida, calcular a soma dos módulos desses valores. O conteúdo principal é usar expansão de Laplace (cofatores) em colunas ou linhas que simplifiquem o cálculo do determinante.]

Passo 2

Note que nas colunas 3 e 4 da matriz A só há entradas não nulas nas linhas 2 e 4. Isso nos permite usar a expansão de Laplace em bloco por essas duas colunas de forma direta. Pela fórmula de expansão em duas colunas:
\det A \;=\; (-1)^{\sum I+\sum J}\;\det\bigl(A_{I,J}\bigr)\;\det\bigl(A_{\bar I,\bar J}\bigr),
onde J=\{3,4\} e I=\{2,4\} é o subconjunto de linhas que contém as entradas não nulas nessas colunas.

Passo 3

Calcular o menor \det\bigl(A_{\bar I,\bar J}\bigr) obtido pelas linhas \{1,3\} e colunas \{1,2\}:
A_{\{1,3\},\{1,2\}} = \begin{pmatrix} 1 & 2x \\[4pt] 1 & x+4 \end{pmatrix}, \quad \det \begin{pmatrix} 1 & 2x \\[4pt] 1 & x+4 \end{pmatrix} = 1\cdot(x+4) - 2x\cdot1 = 4 - x.]

Passo 4

Calcular o menor \det\bigl(A_{I,J}\bigr) obtido pelas linhas \{2,4\} e colunas \{3,4\}:
A_{\{2,4\},\{3,4\}} = \begin{pmatrix} x-1 & 2 \\[4pt] 1 & x-2 \end{pmatrix}, \quad \det \begin{pmatrix} x-1 & 2 \\[4pt] 1 & x-2 \end{pmatrix} = (x-1)(x-2) - 2\cdot1 = x^{2} - 3x = x(x-3).]

Passo 5

O sinal de expansão é
(-1)^{\sum I+\sum J} \;=\; (-1)^{(2+4)+(3+4)} \;=\; (-1)^{13} \;=\;-1.
Logo
\det A =-1\;\bigl[x(x-3)\bigr]\;(4-x) =\;-\bigl[x(x-3)(4-x)\bigr] =\;x(x-3)(x-4).

Passo 6

Para anular o determinante, basta resolver
x(x-3)(x-4)=0 \;\Longrightarrow\; x=0,\;3,\;4.
A soma dos módulos é
|0|+|3|+|4|=0+3+4=7.

Resposta

7
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