(UFU-04) Considere a matriz invertivel A=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right), cujos elementos são números reais. Sce B é a matriz B=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & e^{x} a_{12} & \left(e^{x}\right)^{2} a_{13} \\\ e^{x} a_{21} & \left(e^{x}\right)^{2} a_{22} & \left(e^{x}\right)^{3} a_{23} \\\ \left(e^{x}\right)^{2} a_{31} & \left(e^{x}\right)^{3} a_{32} & \left(e^{x}\right)^{4} a_{33}\end{array}\right) e\operatorname{det} B=\left(e^{3 x}+2\right) \operatorname{det} A, então o número x pertence ao intervalo
a) (2,3)
b) (-1,0)
c) (1,2)
d) (0,1)
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz invertível A\in\mathbb{R}^{3\times3} e define a matriz B cujos elementos são
B_{ij}=(e^{x})^{\,i+j-2}a_{ij}.
Pede-se o intervalo de x tal que \det B=(e^{3x}+2)\det A. Usaremos propriedades de determinantes e matrizes diagonais.
Passo 2
Escrevemos B = M\,A\,N com
M = \operatorname{diag}(1,e^{x},e^{2x}),
N = \operatorname{diag}(1,e^{x},e^{2x}).
Multiplicar A à esquerda por M escala a linha i por (e^{x})^{i-1} e à direita por N escala a coluna j por (e^{x})^{j-1}, de modo que o elemento (i,j) de MAN fica exatamente B_{ij}=(e^{x})^{i+j-2}a_{ij}.
Passo 3
Pelo fato de \det(MAN)=\det M\cdot\det A\cdot\det N e sabendo que o determinante de uma diagonal é o produto de seus elementos, temos
\det M \;=\; 1\cdot e^{x}\cdot e^{2x} \;=\; e^{3x},
\det N \;=\; 1\cdot e^{x}\cdot e^{2x} \;=\; e^{3x}.
Logo
\det B = \det M\;\det A\;\det N = e^{3x}\,\det A \times e^{3x} = e^{6x}\,\det A.
Passo 4
Pela condição do enunciado,
e^{6x}\,\det A = (e^{3x}+2)\,\det A.
Como \det A\neq0, divide-se ambos os lados por \det A e obtém-se
e^{6x} = e^{3x} + 2.
Fazendo t=e^{3x}>0, vem
t^2 - t - 2 = 0
cuja solução positiva é
t = 2.
Portanto e^{3x}=2 e
x = \frac{\ln 2}{3} \approx 0,231.
Passo 5
O valor x\approx0,231 pertence ao intervalo (0,1). Assim a alternativa correta é a letra d).
Resposta
d) (0,1)
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 14