(IME-65) Dado o trapézio de bases b=20, B =30 e lados \mathrm{a}=12, \mathrm{c}=10, dividir a área desse trapézio por uma reta paralela às bases, de modo que as áreas resultantes sejam proporcionais a 3 e 7, sendo B a área da base maior. Calcular a distância y da reta à base da área maior.

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos um trapézio com bases de comprimentos b=20 (base menor) e B=30 (base maior) e lados não paralelos de comprimentos a=12 e c=10. Precisamos traçar uma reta paralela às bases que divida a área total em duas partes proporcionais a 3 e 7, sendo que a área junto à base maior corresponde à proporção 3. Vamos usar coordenadas para determinar a altura do trapézio, depois aplicar semelhança de triângulos para achar a largura na altura de divisão e, por fim, igualar a área da porção inferior a \tfrac{3}{10} da área total.

Passo 2

Colocamos o trapézio no plano de forma que a base maior B esteja sobre o eixo x entre A=(0,0) e D=(30,0). A base menor de comprimento b=20 estará em altura H entre B=(x,H) e C=(x+20,H). As distâncias \overline{AB}=a=12 e \overline{DC}=c=10 geram o sistema
x^2+H^2=12^2,
(x+20-30)^2+H^2=10^2.
Resolvendo, obtemos x=7,2 e H=9,6.

Passo 3

A área total do trapézio é
A_{\text{total}} = \frac{B+b}{2}\,H = \frac{30+20}{2}\cdot 9,6 =25\cdot 9,6 =240.

Passo 4

Seja y a distância vertical da base maior até a reta de divisão. A largura do trapézio nesse nível, por semelhança de triângulos, é
b' = 30 \;-\;\frac{25}{24}\,y.
Logo, a área da porção junto à base maior (um trapézio de bases 30 e b' e altura y) é
A_1 = \frac{30+b'}{2}\,y = 30\,y \;-\;\frac{25}{48}\,y^2.

Passo 5

Queremos A_1 = \tfrac{3}{10}\,A_{\text{total}} =72. Assim,
30\,y - \frac{25}{48}\,y^2 =72.
Multiplicando por 48 e reorganizando, vem
25\,y^2 \;-\;1440\,y \;+\;3456 =0.
Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos
y = \frac{1440 \pm 240\sqrt{30}}{50} = \frac{144 \pm 24\sqrt{30}}{5}.
Como y<H=9,6, escolhemos a raiz menor:
y = \frac{144 - 24\sqrt{30}}{5}.

Resposta

y = \frac{144 -24\sqrt{30}}{5} \approx 2,51.

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