(IME-65) Dado o trapézio de bases b=20, B=30 e lados \mathrm{a}=12, \mathrm{c}=10, dividir a área desse trapézio por uma reta paralela às bases, de modo que as áreas resultantes sejam proporcionais a 3 e 7, sendo B a área da base maior. Calcular a distância y da reta à base da área maior.
Passo 1
Resumimos o enunciado: temos um trapézio com bases de comprimentos b=20 (base menor) e B=30 (base maior) e lados não paralelos de comprimentos a=12 e c=10. Precisamos traçar uma reta paralela às bases que divida a área total em duas partes proporcionais a 3 e 7, sendo que a área junto à base maior corresponde à proporção 3. Vamos usar coordenadas para determinar a altura do trapézio, depois aplicar semelhança de triângulos para achar a largura na altura de divisão e, por fim, igualar a área da porção inferior a \tfrac{3}{10} da área total.
Passo 2
Colocamos o trapézio no plano de forma que a base maior B esteja sobre o eixo x entre A=(0,0) e D=(30,0). A base menor de comprimento b=20 estará em altura H entre B=(x,H) e C=(x+20,H). As distâncias \overline{AB}=a=12 e \overline{DC}=c=10 geram o sistema