(IME-89) Determine o coeficiente de x^{-9} no desenvolvimento de:
\left(x^{2}+\frac{1}{x^{5}}\right)^{2} \cdot\left(x^{3}+\frac{1}{x^{4}}\right)^{5}

Solução:

Note que: \left(x^{2}+\frac{1}{x^{5}}\right)^{2} \cdot\left(x^{3}+\frac{1}{x^{4}}\right)^{5}=\left(\frac{x^{7}+1}{x^{5}}\right)^{2}\left(\frac{x^{7}+1}{x^{4}}\right)^{5}=\frac{\left(x^{7}+1\right)^{7}}{x^{30}}
Jesta forma, o termo geral do desenvolvimento é T_{p+1}=\frac{\binom{7}{p}\left(x^{7}\right)^{7-p}}{x^{30}}=\binom{7}{p} x^{19-7 p}
Assim: 19-7 \mathrm{p}=-9 \Rightarrow 7 \mathrm{p}=28 \Rightarrow \mathrm{p}=4 \Rightarrow \mathrm{~T}_{5}=\binom{7}{4} \mathrm{x}^{-9}=35 \mathrm{x}^{-9}

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{-9} no produto
\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x^{5}}\bigr)^{2}\cdot\bigl(x^{3}+\tfrac{1}{x^{4}}\bigr)^{5}.
O conteúdo principal aqui é o Teorema Binomial para expandir potências de soma e identificar o termo de grau desejado.

Passo 2

Repare que
x^{2}+\tfrac{1}{x^{5}} = x^{-5}\bigl(x^{7}+1\bigr), \qquad x^{3}+\tfrac{1}{x^{4}} = x^{-4}\bigl(x^{7}+1\bigr).
Portanto,
\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x^{5}}\bigr)^{2} = x^{-10}\bigl(x^{7}+1\bigr)^{2}, \quad \bigl(x^{3}+\tfrac{1}{x^{4}}\bigr)^{5} = x^{-20}\bigl(x^{7}+1\bigr)^{5}.

Passo 3

Multiplicando as duas expressões, obtemos
x^{-10}\bigl(x^{7}+1\bigr)^{2}\;\times\;x^{-20}\bigl(x^{7}+1\bigr)^{5} = x^{-30}\bigl(x^{7}+1\bigr)^{7}.
Agora só precisamos expandir \bigl(x^{7}+1\bigr)^{7} pelo Teorema Binomial.

Passo 4

Pelo Teorema Binomial, o (p+1)-ésimo termo de \bigl(x^{7}+1\bigr)^{7} é
T_{p+1} = \binom{7}{p}\,(x^{7})^{7-p}\,1^{p} = \binom{7}{p}\,x^{7(7-p)} = \binom{7}{p}\,x^{49-7p}.
Dividindo por x^{30}, o termo correspondente em todo o produto vale
T_{p+1} = \binom{7}{p}\,x^{(49-7p)-30} = \binom{7}{p}\,x^{19-7p}.

Passo 5

Queremos que o expoente satisfaça
19 - 7p = -9.
Resolvendo,
7p = 28 \quad\Longrightarrow\quad p = 4.

Passo 6

Para p=4, o coeficiente é
\binom{7}{4} = 35.

Resposta

O coeficiente de x^{-9} é 35.

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