(IME-82) O quadrado de qualquer número par 2 n pode ser expresso como a soma de n termos em progressão aritmética. Determine o primeiro termo e a razão desta progressão.

Passo 1

O enunciado diz que, para qualquer inteiro n, o quadrado de 2n deve ser escrito como soma de n termos de uma progressão aritmética (PA).
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA:
S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a + (n-1)r\bigr),
onde a é o primeiro termo, r é a razão e aqui deve valer S_n=(2n)^2=4n^2.

Passo 2

Igualando a soma da PA ao quadrado de 2n, temos
4n^2 \;=\;\frac{n}{2}\bigl(2a + (n-1)r\bigr).
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por n (supondo n>0):
8n \;=\;2a + (n-1)r.
Essa relação engloba todas as PAs cuja soma de n termos é 4n^2.

Passo 3

Para obter uma solução inteira simples e natural, escolhemos a menor razão inteira positiva, r=2. Substituindo em
2a + (n-1)\cdot 2 = 8n
vem
2a + 2n - 2 = 8n \quad\Longrightarrow\quad 2a = 6n + 2 \quad\Longrightarrow\quad a = 3n + 1.

Resposta

O primeiro termo é a = 3n + 1 e a razão é r = 2.

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